已知圓M的方程為:x2+y2-2x-2y-6=0,以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心的圓N與圓M相切.
(1)求圓N的方程;
(2)圓N與x軸交于E、F兩點(diǎn),圓內(nèi)的動點(diǎn)D使得|DE|、|DO|、|DF|成等比數(shù)列,求·的取值范圍;
(3)過點(diǎn)M作兩條直線分別與圓N相交于A、B兩點(diǎn),且直線MA和直線MB的傾斜角互補(bǔ),試判斷直線MN和AB是否平行?請說明理由

圓M的方程可整理為:(x-1)2+(y-1)2=8,故圓心M(1,1),半徑R=2.
(1)圓N的圓心為(0,0),
因?yàn)閨MN|=<2,所以點(diǎn)N在圓M內(nèi),
故圓N只能內(nèi)切于圓M.
設(shè)其半徑為r.
因?yàn)閳AN內(nèi)切于圓M,
所以有:|MN|=R-r,
即=2-r,解得r=.
所以圓N的方程為
x2+y2=2.
(2)由題意可知:E(-,0),F(xiàn)(,0).
設(shè)D(x,y),由|DE|、|DO|、|DF|成等比數(shù)列,
得|DO|2=|DE|×|DF|,
即:×
=x2+y2,
整理得:x2-y2=1.
而=(--x,-y),
=(-x,-y),·
=(--x)(-x)+(-y)(-y)=x2+y2-2=2y2-1,由于點(diǎn)D在圓N內(nèi),故有,由此得y2<,所以·∈[-1,0).
(3)因?yàn)橹本MA和直線MB的傾斜角互補(bǔ),故直線MA和直線MB的斜率存在,且互為相反數(shù),設(shè)直線MA的斜率為k,則直線MB的斜率為-k.故直線MA的方程為
y-1=k(x-1),
直線MB的方程為
y-1=-k(x-1),
由,
得(1+k2)x2+2k(1-k)x+(1-k)2-2=0.
因?yàn)辄c(diǎn)M在圓N上,故其橫坐標(biāo)x=1一定是該方程的解,
可得xA=,
同理可得:xB=,
所以kAB==

=1=kMN.
所以,直線AB和MN一定平行

解析

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