Question

4．記區(qū)間（x₁，x₂）的長度為L=x₂-x₁，已知函數(shù)$f（x）=\frac{1}{3}a{x^2}+\frac{1}{2}b{x^2}+cx+d$（a＞b＞c），其圖象在點（1，f（1））處的切線斜率為0，則函數(shù)f（x）單調(diào)遞減區(qū)間的長度L的取值范圍為（　�。�

• A． $（{1，\frac{3}{2}}）$
• B． $（{\frac{3}{2}，3}）$
• C． （1，3）
• D． （2，3）

Answer 1

分析 求出函數(shù)的導數(shù)，求得切線的斜率可得a+b+c=0，由a＞b＞c，可得a＞0，c＜0，求出-$\frac{1}{2}$＞$\frac{c}{a}$＞-2，由f′（1）=0得到方程有一根為1，設出另一根，根據(jù)韋達定理可表示出另一根，根據(jù)求出的范圍求出另一根的范圍，令導函數(shù)大于0的不等式的解集應該為x大于另一根小于1，所以L就等于1減另一根，求出1減另一根的范圍即可．

解答 解：f'（x）=ax²+bx+c，
由圖象在點（1，f（1））處的切線斜率為0，
得f'（1）=0，即a+b+c=0，
由a＞b＞c知：a＞0，c＜0．
由a＞b=-a-c＞c，得-$\frac{1}{2}$＞$\frac{c}{a}$＞-2，
由f'（1）=0知：方程f'（x）=0即ax²+bx+c=0的一根為1，
設另一根為x₀，則由韋達定理，得x₀=$\frac{c}{a}$．
由a＞0，令f'（x）=ax²+bx+c＜0，得x₀＜x＜1，
設函數(shù)f（x）單調(diào)遞減區(qū)間為[m，n]，
則[m，n]=[x₀，1]，從而L=n-m=1-x₀∈（$\frac{3}{2}$，3），
故選B．

點評 本題考查導數(shù)的運用：求切線的斜率和單調(diào)區(qū)間，考查不等式的性質(zhì)的運用，以及二次方程的韋達定理，屬于中檔題．