分析 (1)由tanα=13,求出cosα、sinα的值,計算→OB•→OC的值即可;
(2)根據(jù)→OC=x→OA+y→OB,其中x,y∈R,列出方程,求出x、y的表達(dá)式,再求x+y的最大值即可.
解答 解:(1)∵tanα=13,∴3sinα=cosα,又sin2α+cos2α=1,α∈[0,π3],
∴sinα=1√10.cosα=3√10,
cos∠BOC=cos(π3−α)=cosπ3cosα+sinαsinπ3=3+√32√10=3√10+√3020
∴→OB•→OC=|→OB|•|→OC|cos∠BOC=3√10+√3020.
(2))∵A(1,0),B(12,√32),∠AOC=α,(0≤α≤π3),
∴C(cosα,sinα);
又∵→OC=x→OA+y→OB,其中x,y∈R,→OC=(cosα,sinα),→OA=(1,0).→OB=(12,√32);
∴{cosα=x+12ysinα=√32y,⇒x+y=cosα+1√3sinα=2√33sin(α+π3)
∴當(dāng)α=π6時,sin(α+π3)=1,x+y取得最大值2√33.
點(diǎn)評 本題考查了三角函數(shù)的求值以及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題,也考查了平面向量的應(yīng)用問題.屬于中檔題.
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x | 0 | 2 | 4 | 6 |
y | a | 3 | 5 | 3a |
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