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7.在如圖所示的直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)A,B是單位圓上的點(diǎn),且A(1,0),∠AOB=π3.現(xiàn)有一動點(diǎn)C在單位圓的劣弧^AB上運(yùn)動,設(shè)∠AOC=α.
(1)若tanα=13,求OBOC的值;
(2)若OC=xOA+yOB,其中x,y∈R,求x+y的最大值.

分析 (1)由tanα=13,求出cosα、sinα的值,計算OBOC的值即可;
(2)根據(jù)OC=xOA+yOB,其中x,y∈R,列出方程,求出x、y的表達(dá)式,再求x+y的最大值即可.

解答 解:(1)∵tanα=13,∴3sinα=cosα,又sin2α+cos2α=1,α∈[0,π3],
∴sinα=110.cosα=310,
cos∠BOC=cos(π3α)=cosπ3cosα+sinαsinπ3=3+3210=310+3020
OBOC=|OB|•|OC|cos∠BOC=310+3020
(2))∵A(1,0),B(12,32),∠AOC=α,(0≤α≤π3),
∴C(cosα,sinα);
又∵OC=xOA+yOB,其中x,y∈R,OC=(cosα,sinα),OA=10.OB=1232;
{cosα=x+12ysinα=32y,⇒x+y=cosα+13sinα=233sinα+π3
∴當(dāng)α=π6時,sin(α+π3)=1,x+y取得最大值233

點(diǎn)評 本題考查了三角函數(shù)的求值以及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題,也考查了平面向量的應(yīng)用問題.屬于中檔題.

練習(xí)冊系列答案
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x0246
ya353a
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同步練習(xí)冊答案
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