Question

2．已知點A是以BC為直徑的圓O上異于B，C的動點，P為平面ABC外一點，且平面PBC⊥平面ABC，BC=3，PB=2$\sqrt{2}$，PC=$\sqrt{5}$，則三棱錐P-ABC外接球的表面積為10π．

Answer 1

分析 由O為△ABC外接圓的圓心，且平面PBC⊥平面ABC，過O作面ABC的垂線l，則垂線l一定在面PBC內(nèi)，可得球心O₁一定在面PBC內(nèi)，即球心O₁也是△PBC外接圓的圓心，
在△PBC中，由余弦定理、正弦定理可得R即可，

解答 解：因為O為△ABC外接圓的圓心，且平面PBC⊥平面ABC，過O作面ABC的垂線l，則垂線l一定在面PBC內(nèi)，
根據(jù)球的性質(zhì)，球心一定在垂線l，
∵球心O₁一定在面PBC內(nèi)，即球心O₁也是△PBC外接圓的圓心，
在△PBC中，由余弦定理得cosB=$\frac{P{B}^{2}+B{C}^{2}-P{C}^{2}}{2BP•BC}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，⇒sinB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
由正弦定理得：$\frac{PC}{sinB}=2R$，解得R=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，
∴三棱錐P-ABC外接球的表面積為s=4πR²=10π，
故答案為：10π．

點評 本題考查了三棱錐的外接球的表面積，將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，利用正余弦定理是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．