Question

3．已知f（x）=x²+kx+5，g（x）=4x，設當x≤1時，函數(shù)y=4^x-2^x+1+2的值域為D，且當x∈D時，恒有f（x）≤g（x），求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 令t=2^x，可得y=t²-2t+2，t∈（0，2]，進而得到D=[1，2]，則f（x）≤g（x）可化為：x²+（k-4）x+5≤0，x∈[1，2]恒成立．
法一：令g（x）=x²+（k-4）x+5，則$\left\{\begin{array}{l}g（1）≤0\\ g（2）≤0\end{array}\right.$，解得答案；
法二：則k≤（x+$\frac{5}{x}$）+4在x∈[1，2]時恒成立，故k≤[（x+$\frac{5}{x}$）+4]_min，解得答案．

解答 解：令t=2^x，由于x≤1，則t∈（0，2]，
則原函數(shù)可化為：y=t²-2t+2，t∈（0，2]，
當t=1時，y取最小值1，當t=2時，y取最大值2，
故D=[1，2]，
由題意：f（x）≤g（x）可化為：x²+（k-4）x+5≤0，x∈[1，2]恒成立
法一：令g（x）=x²+（k-4）x+5，
則$\left\{\begin{array}{l}g（1）≤0\\ g（2）≤0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}1+（k-4）+5≤0\\{2}^{2}+2（k-4）+5≤0\end{array}\right.$，
解得：k≤-2，
法二：則k≤（x+$\frac{5}{x}$）+4在x∈[1，2]時恒成立，
故k≤[（x+$\frac{5}{x}$）+4]_min=-2

點評 本題考查的知識點是二次函數(shù)的圖象和性質，函數(shù)恒成立，對勾函數(shù)的圖象和性質，難度中檔．