Question

2．（Ⅰ）已知函數(shù)f（x）=|x+1|+|x-a|（a＞0），若不等式f（x）≥5的解集為{x|x≤-2或x≥3}，求a的值；
（Ⅱ） 已知實(shí)數(shù)a，b，c∈R₊，且a+b+c=m，求證：$\frac{1}{a+b}$+$\frac{1}{b+c}$+$\frac{1}{c+a}$≥$\frac{9}{2m}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）化簡函數(shù)f（x）=|x+1|+|x-a|（a＞0）為分段函數(shù)，然后通過不等式f（x）≥5的解集為{x|x≤-2或x≥3}，求a的值；
（Ⅱ）利用“1”的代換，利用基本不等式轉(zhuǎn)化證明即可．

解答 （本小題滿分10分）
解：（Ⅰ） 因?yàn)閍＞0，所以$f（x）=|x+1|+|x-a|=\left\{\begin{array}{l}-2x+a-1，x＜-1\\ a+1，-1≤x＜a\\ 2x-a+1，x≥a\end{array}\right.$，
又因?yàn)椴坏仁絝（x）≥5的解集為{x|x≤-2或x≥3}，就是x=-2或x=3時，f（x）=5，解得a=2．（5分）
（Ⅱ）證明：$\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}=\frac{{（\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}）（a+b+b+c+c+a）}}{2m}$
=$\frac{{1+\frac{b+c}{a+b}+\frac{c+a}{a+b}+1+\frac{a+b}{b+c}+\frac{c+a}{b+c}+1+\frac{a+b}{c+a}+\frac{b+c}{c+a}}}{2m}$
=$\frac{{3+\frac{b+c}{a+b}+\frac{a+b}{b+c}+\frac{c+a}{b+c}+\frac{b+c}{c+a}+\frac{a+b}{c+a}+\frac{c+a}{a+b}}}{2m}≥\frac{9}{2m}$（10分）

點(diǎn)評 本小題主要考查含絕對值不等式以及不等式證明的相關(guān)知識，本小題重點(diǎn)考查考生的化歸與轉(zhuǎn)化思想．