Question

7．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}1-|x+1|，x∈[-2，0]\\ 2f（x-2），x∈（0，+∞）.\end{array}$
（1）求函數(shù)f（x）在[-2，4]上的解析式；
（2）若方程f（x）=x+a在區(qū)間[-2，4]內(nèi)有3個(gè)不等實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用函數(shù)的遞推關(guān)系式，求解分段函數(shù)的解析式即可．
（2）畫出函數(shù)的圖象，利用函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)推出a 的范圍即可．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}1-|x+1|，x∈[-2，0]\\ 2f（x-2），x∈（0，+∞）.\end{array}$，
x∈（0，2]時(shí)，x-2∈（-2，0），可得f（x）=2（1-|x-1|）=2-2|x-1|．
x∈（2，4]時(shí)，x-2∈（0，2），可得f（x）=2（2-2|x-3|）=4-4|x-3|，
，∴當(dāng)-2≤x≤4時(shí)，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1-|x+1|，x∈[-2，0]}\\{2-2|x-1|，x∈（0，2]}\\{4-4|x-3|，x∈（2，4]}\end{array}\right.$．
（2）作出函數(shù)f（x）在區(qū)間[-2，4]上的圖象，如圖所示．
設(shè)y=x+a，由圖象可知要使方程f（x）=x+a在區(qū)間[-2，4]內(nèi)有3個(gè)不等實(shí)根，
則直線y=x+a應(yīng)位于l₁與l₂之間或直線l₃的位置，
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是-2＜a＜0或a=1．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的圖象的應(yīng)用，函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系，函數(shù)的解析式的求法，考查數(shù)形結(jié)合以及只好思想的應(yīng)用．