Question

5．已知函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}|x-1|，x∈（0，2]\\ min\{|x-1|，|x-3|\}，x∈（2，4]\\ min\{|x-3|，|x-5|\}，x∈（4，+∞）.\end{array}\right.$
①若f（x）=a有且只有一個根，則實數(shù)a的取值范圍是（1，+∞）．
②若關于x的方程f（x+T）=f（x）有且僅有3個不同的實根，則實數(shù)T的取值范圍是（-4，-2）∪（2，4）．

Answer 1

分析 ①作出f（x）的圖象，根據(jù)圖象判斷；
②將f（x）的圖象平移，只需與原圖象有3個交點即可．

解答 解：①f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|x-1|，x∈（0，2]}\\{|x-3|，x∈（2，4]}\\{|x-5|，x∈（4，+∞）}\end{array}\right.$，
作出f（x）的函數(shù)圖象如圖所示：

由圖象可知當a＞1時，f（x）=a只有1解．
②∵關于x的方程f（x+T）=f（x）有且僅有3個不同的實根，
∴將f（x）的圖象向左或向右平移|T|個單位后與原圖象有3個交點，
∴2＜|T|＜4，
即-4＜T＜-2或2＜T＜4．
故答案為：①（1，+∞），②（-4，-2）∪（2，4）．

點評 本題考查方程解與函數(shù)圖象的關系，函數(shù)圖象的變換，屬于中檔題．