Question

18．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸非負(fù)半軸為極軸建立坐標(biāo)系，曲線M的極坐標(biāo)方程為ρ=4cosθ，直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=m+tcosα\\ y=tsinα\end{array}$（t為參數(shù)，0≤α＜π），射線θ=φ，θ=φ+$\frac{π}{4}，θ=φ-\frac{π}{4}$與曲線M交于A，B，C三點(diǎn)（異于O點(diǎn)）
（I）求證：|OB|+|OC|=$\sqrt{2}$|OA|；
（II）當(dāng)φ=$\frac{π}{12}$時(shí)，直線l經(jīng)過B，C兩點(diǎn)，求m與α的值．

Answer 1

分析 （I）利用極坐標(biāo)方程，即可證明：|OB|+|OC|=$\sqrt{2}$|OA|；
（II）當(dāng)φ=$\frac{π}{12}$時(shí)，直線l經(jīng)過B，C兩點(diǎn)，求出B，C的坐標(biāo)，即可求m與α的值．

解答 （Ⅰ）證明：由已知：$|{OB}|=4cos（{φ+\frac{π}{4}}），|{OC}|=4cos（{φ-\frac{π}{4}}），|{OA}|=4cosφ$
∴$|{OB}|+|{OC}|=4cos（{φ+\frac{π}{4}}）+4cos（{φ-\frac{π}{4}}）=8cosφcos\frac{π}{4}=\sqrt{2}|{OA}|$…（5分）
（Ⅱ）解：當(dāng)$φ=\frac{π}{12}$時(shí)，點(diǎn)B，C的極角分別為$φ+\frac{π}{4}=\frac{π}{3}，φ-\frac{π}{4}=-\frac{π}{6}$，
代入曲線M的方程得點(diǎn)B，C的極徑分別為：${ρ_B}=4cos\frac{π}{3}=2，{ρ_C}=4cos（{-\frac{π}{6}}）=2\sqrt{3}$
∴點(diǎn)B，C的直角坐標(biāo)為：$B（{1，\sqrt{3}}），C（{3，-\sqrt{3}}）$，
則直線l的斜率為$k=-\sqrt{3}$，方程為$l：\sqrt{3}x+y-2\sqrt{3}=0$，與x軸交與點(diǎn)（2，0）；
由$l：\left\{\begin{array}{l}x=m+tcosα\\ y=tsinα\end{array}\right.$，知α為其傾斜角，直線過點(diǎn)（m，0），
∴$m=2，α=\frac{2π}{3}$…（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查極坐標(biāo)方程的運(yùn)用，考查直線的參數(shù)方程，屬于中檔題．