Question

9．已知函數(shù)f（x）=a•lnx+b•x²的圖象在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為x-y-1=0．
（1）求f（x）的表達(dá)式；
（2）若F（x）滿足F（x）＜G（x）恒成立，則稱F（x）是G（x）的一個(gè)“游離承托函數(shù)”．
證明：函數(shù)g（x）=2af（x+t），t∈R且t≤2，是函數(shù)h（x）=e^x+f（x+t）的一個(gè)“游離承托函數(shù)”．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)f（x）=a•lnx+b•x²的圖象在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為x-y-1=0，求出a，b，即可求f（x）的表達(dá)式；
（2）由題要證函數(shù)g（x）=2f（x+t），t∈R且t≤2，是函數(shù)h（x）=e^x+f（x+t）的一個(gè)“游離承托函數(shù)”，只要證明當(dāng)t≤2時(shí)，g（x）＜h（x）在公共定義域上恒成立．

解答 （1）解：當(dāng)x=1時(shí)，y=0，代入f（x）=a•lnx+b•x²得b=0，…（1分）
所以f（x）=a•lnx，f′（x）=$\frac{a}{x}$…（3分）
由切線方程知f′（1）=1，所以a=1，故f（x）=lnx．…（5分）
（2）證明：由題要證函數(shù)g（x）=2f（x+t），t∈R且t≤2，是函數(shù)h（x）=e^x+f（x+t）的一個(gè)“游離承托函數(shù)”，
只要證明當(dāng)t≤2時(shí)，g（x）＜h（x）在公共定義域上恒成立，即證明：
當(dāng)t≤2時(shí)，h（x）-g（x）=e^x-ln（x+t）對(duì)于x＞-t恒成立，
由于t≤2，x+t≤x+2，ln（x+t）≤ln（x+2），e^x-ln（x+t）≥e^x-ln（x+2），
只要證明：e^x-ln（x+2）＞0對(duì)于x＞-2恒成立即可．…（6分）
證明：令y=e^x-ln（x+2），x＞-2，
則y′=e^x-$\frac{1}{x+2}$，
令k（x）=e^x-$\frac{1}{x+2}$，則k′（x）=e^x+$\frac{1}{（x+2）^{2}}$＞0，
∴y′=e^x-$\frac{1}{x+2}$在（-2，+∞）上單調(diào)遞增，且k（-1）=$\frac{1}{e}$-1＜0，k（0）=1-$\frac{1}{2}$＞0
∴?x₀∈（-1，0），使得k（x₀）=0成立，…（8分）
當(dāng)x∈（-2，x₀）時(shí)，y′＜0，y=e^x-ln（x+2）單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈（x₀，+∞）時(shí)，y′＞0，y=e^x-ln（x+2）單調(diào)遞增；
∴y_min=${e}^{{x}_{0}}$-ln（x₀+2），…（9分）
又由k（x₀）=0，得${e}^{{x}_{0}}$=$\frac{1}{{x}_{0}+2}$，且x₀=-ln（x₀+2）…（10分）
∴y_min=${e}^{{x}_{0}}$-ln（x₀+2）=$\frac{（{x}_{0}+1）^{2}}{{x}_{0}+2}$＞0，…（11分）
∴e^x-ln（x+2）＞0對(duì)于x＞-2恒成立
∴函數(shù)函數(shù)g（x）=2f（x+t），t∈R且t≤2，是函數(shù)h（x）=e^x+f（x+t）的一個(gè)“游離承托函數(shù)”，得證．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，以及函數(shù)恒成立問題等基礎(chǔ)題知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，分類討論思想，屬于難題．