分析 (1)在三棱柱ABC-A1B1C1中,由側(cè)面ABB1A1是矩形,可得AA1⊥AB,又AA1⊥BC,可得AA1⊥平面ABC,得到AA1⊥AC,進(jìn)一步有A1C⊥AC1,結(jié)合BC1⊥A1C,可得A1C⊥平面ABC1,由面面垂直的判定得平面ABC1⊥平面A1ACC1 ;
(2)當(dāng)E為BB1的中點(diǎn)時,連接AE,EC1,DE,取AA1的中點(diǎn)F,連接EF,F(xiàn)D,由面面平行的判定和性質(zhì)可得DE∥平面ABC1,咋愛優(yōu)等體積法可求點(diǎn)E到平面ABC1的距離為.
解答 (1)證明:在三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)面ABB1A1是矩形,
∴AA1⊥AB,又AA1⊥BC,AB∩BC=B,
∴AA1⊥平面ABC,
∴AA1⊥AC,又AA1=AC,∴A1C⊥AC1,
又BC1⊥A1C,BC1∩AC1=C1,
∴A1C⊥平面ABC1,又A1C?平面A1ACC1,
∴平面ABC1⊥平面A1ACC1 ;
(2)解:當(dāng)E為BB1的中點(diǎn)時,連接AE,EC1,DE,
如圖,取AA1的中點(diǎn)F,連接EF,F(xiàn)D,
∵EF∥AB,DF∥AC1,
又EF∩DF=F,AB∩AC1=A,
∴平面EFD∥平面ABC1,又DE?平面EFD,
∴DE∥平面ABC1,
又∵${V}_{E-AB{C}_{1}}={V}_{{C}_{1}-ABE}$,C1A1⊥平面ABE,
設(shè)點(diǎn)E到平面ABC1 的距離為d,
∴$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×4\sqrt{2}×d=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2×4$,得d=$\sqrt{2}$,
∴點(diǎn)E到平面ABC1的距離為$\sqrt{2}$.
點(diǎn)評 本題考查平面與平面垂直的判定,考查了空間想象能力和思維能力,訓(xùn)練了利用等積法求多面體的體積,是中檔題.
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A. | [6} | B. | {5} | C. | {1,2,3,4} | D. | {5,6} |
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