Question

3．已知函數(shù)f（x）=2sin（ωx），其中常數(shù)ω＞0．
（1）令ω=1，判斷函數(shù)$F（x）=f（x）+f（x-\frac{π}{2}）$的奇偶性并說(shuō)明理由；
（2）已知在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若a=$\sqrt{3}$，b=2，sin B=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，求F（x）+4cos（2A+$\frac{π}{6}$），（x∈[0，$\frac{11π}{12}$]）的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用兩角和與差的三角函數(shù)化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，利用函數(shù)的奇偶性判斷即可．
（2）利用正弦定理求出A，化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，通過(guò)求解相位的范圍，利用正弦函數(shù)的有界性求解即可．

解答 解：（1）?（x）=2sinx，$F（x）=f（x）+f（{x-\frac{π}{2}}）=2sinx+2sin（{x-\frac{π}{2}}）=2（{sinx-cosx}）$-----（1分）$F（{\frac{π}{4}}）=0，F(xiàn)（{-\frac{π}{4}}）=-2\sqrt{2}，F(xiàn)（{-\frac{π}{4}}）≠F（{\frac{π}{4}}），F(xiàn)（{-\frac{π}{4}}）≠-F（{\frac{π}{4}}）$----（5分）
所以，F(xiàn)（x）既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)．-----（6分）
（2）由正弦定理$\frac{a}{sinA}$=$\frac{sinB}$，可得sin A=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴A=$\frac{π}{4}$．------（8分）
∴$F（x）+4cos（2A+\frac{π}{6}）=2\sqrt{2}sin（x-\frac{π}{4}）-2$--------（9分）
∵x∈[0，$\frac{11π}{12}$]，∴x-$\frac{π}{4}$∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{2π}{3}$]．--------（10分）
∴-4≤F（x）+4cos（2A+$\frac{π}{6}$）≤2$\sqrt{2}$-2．
故所求范圍為[-4，2$\sqrt{2}$-2]．------（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查正弦定理以及兩角和與差的三角函數(shù)的應(yīng)用，正弦函數(shù)的有界性的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．