Question

【題目】已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足an+1= an2﹣ nan+1（n∈N*），且a1=3．
（1）計(jì)算a2 ， a3 ， a4的值，由此猜想數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，并給出證明；
（2）求證：當(dāng)n≥2時(shí)，ann≥4nn ．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵ ，且a1=3．

∴a2=4，a3=5，a4=6

猜想an=n+2

證明：①當(dāng)n=1時(shí)顯然成立

②假設(shè)n=k時(shí)（k≥1）時(shí)成立，即ak=k+2

則n=k+1時(shí)，ak+1= =

=k+3即n=k+1時(shí)命題成立

綜上可得，an=n+2

（2）

證明：①當(dāng)n=1時(shí)顯然成立

②假設(shè)n=k時(shí)（k≥1）時(shí)成立，即ak=k+2

則n=k+1時(shí)，ak+1= =

=k+3即n=k+1時(shí)命題成立

綜上可得，an=n+2

證明：（2）∵an=n+2，n≥2

∴ =（n+2）n=

≥

≥5nn﹣2nn﹣1=4nn+nn﹣1（n﹣2）≥4nn，即證

【解析】（1）由 ，且a1=3，分別令 n=1，2，3即可求解，進(jìn)而可猜想，然后利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明即可（2）由（1）可得an=n+2，從而有 =（n+2）n ， 利用二項(xiàng)式定理展開(kāi)后即可證明
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解數(shù)列的通項(xiàng)公式的相關(guān)知識(shí)，掌握如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式．