Question

12．若不等式（$\frac{1}{2}$）^x+（$\frac{1}{3}$）^x-m≥0在x∈（-∞，1]時恒成立，則實數m的取值范圍是（-∞，$\frac{5}{6}$]．

Answer 1

分析 分離變量，利用函數的單調性求解即可．

解答 解：不等式（$\frac{1}{2}$）^x+（$\frac{1}{3}$）^x-m≥0，可得不等式（$\frac{1}{2}$）^x+（$\frac{1}{3}$）^x≥m，在x∈（-∞，1]時恒成立，
因為函數y=（$\frac{1}{2}$）^x+（$\frac{1}{3}$）^x，在x∈（-∞，1]是減函數，函數的最小值為：f（1）=$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$=$\frac{5}{6}$，
則實數m的取值范圍是：（-∞，$\frac{5}{6}$]．
故答案為：（-∞，$\frac{5}{6}$]．

點評 本題考查函數恒成立，函數的單調性的應用，考查轉化思想以及計算能力．