Question

10．在平面直角坐標(biāo)系xoy中，直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=tcosα\\ y=1+tsinα\end{array}\right.$（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρcos²θ=4sinθ．
（1）設(shè)M（x，y）為曲線C上的任意一點(diǎn)，求x+y的取值范圍；
（2）若直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，求|AB|的最小值．

Answer 1

分析 （1）把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入曲線C的極坐標(biāo)方程化直角坐標(biāo)方程，利用x+y=x+$\frac{1}{4}{x}^{2}$=$\frac{1}{4}（x+2）^{2}$-1，即可得出結(jié)論；
（2）將直線的參數(shù)方程代入曲線C的直角坐標(biāo)方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合t的幾何意義求得|AB|的最小值．

解答 解：（1）由ρcos²θ=4sinθ，得（ρcosθ）²=4ρsinθ，
把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入上式，得x²=4y，
∴曲線C的直角坐標(biāo)方程為x²=4y，
∵M(jìn)（x，y）為曲線C上的任意一點(diǎn)，
∴x+y=x+$\frac{1}{4}{x}^{2}$=$\frac{1}{4}（x+2）^{2}$-1≥-1，
∴x+y的取值范圍是[-1，+∞）；
（2）將直線l的參數(shù)方程代入x²=4y，得t²cos²α-4tsinα-4=0，
設(shè)A、B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t₁，t₂，
則|AB|=|t₁-t₂|=$\frac{4}{co{s}^{2}α}$，當(dāng)cos²α=1時(shí)，|AB|的最小值為4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查極坐標(biāo)方程化直角坐標(biāo)方程，考查直線參數(shù)方程中參數(shù)幾何意義的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．