Question

17．如圖（1）所示，已知四邊形SBCD是由直角△SAB和直角梯形ABCD拼接而成的，其中∠SAB=∠SDC=90°，且點A為線段SD的中點，AD=2DC=1，AB=SD，現(xiàn)將△SAB沿AB進行翻折，使得二面角S-AB-C的大小為90°，得到的圖形如圖（2）所示，連接SC，點E、F分別在線段SB、SC上．
（Ⅰ）證明：BD⊥AF；
（Ⅱ）若三棱錐B-AEC的體積是四棱錐S-ABCD體積的$\frac{2}{5}$，求點E到平面ABCD的距離．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推導出SA⊥AD，SA⊥AB，從而SA⊥平面ABCD，進而SA⊥BD，再求出AC⊥BD，由此得到BD⊥平面SAC，從而能證明BD⊥AF．
（Ⅱ）設點E到平面ABCD的距離為h，由V_B-AEC=V_E-ABC，且$\frac{{V}_{E-ABC}}{{V}_{S-ABCD}}$=$\frac{2}{5}$，能求出點E到平面ABCD的距離．

解答 證明：（Ⅰ）∵四邊形SBCD是由直角△SAB和直角梯形ABCD拼接而成的，其中∠SAB=∠SDC=90°，
二面角S-AB-C的大小為90°，
∴SA⊥AD，
又SA⊥AB，AB∩AD=A，∴SA⊥平面ABCD，
又BD?平面ABCD，∴SA⊥BD，
在直角梯形ABCD中，∠BAD=∠ADC=90°，
AD=2CD=1，AB=2，
∴tan∠ABD=tan∠CAD=$\frac{1}{2}$，
又∠DAC+∠BAC=90°，
∴∠ABD+∠BAC=90°，即AC⊥BD，
又AC∩SA=A，∴BD⊥平面SAC，
∵AF?平面SAC，∴BD⊥AF．
解：（Ⅱ）設點E到平面ABCD的距離為h，
∵V_B-AEC=V_E-ABC，且$\frac{{V}_{E-ABC}}{{V}_{S-ABCD}}$=$\frac{2}{5}$，
∴$\frac{{V}_{E-ABC}}{{V}_{S-ABCD}}$=$\frac{\frac{1}{3}{S}_{△ABC}•h}{\frac{1}{3}{S}_{梯形ABCD}•SA}$=$\frac{\frac{1}{2}×2×1×h}{\frac{\frac{5}{2}×1}{2}×1}$=$\frac{2}{5}$，
解得h=$\frac{1}{2}$，
∴點E到平面ABCD的距離為$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查線線垂直的證明，考查點到平面的距離的求法，考查等體積法的應用，考查推理論證能力、運算求解能力、空間思維能力，考查轉(zhuǎn)化化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．