12.已知函數(shù)f(x)=x3lnx+ax3+b,(x>0)在x=1處取極值,其中a,b為常數(shù)
(1)求a的值
(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間$[\frac{1}{e},e]$上沒(méi)有零點(diǎn),求b的取值范圍.

分析 (1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),根據(jù)f′(1)=0,求出a的值檢驗(yàn)即可;
(2)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,從而求出f(x)的范圍,解關(guān)于b的不等式,求出b的范圍即可.

解答 解:(1)f′(x)=3x2lnx+x2+3ax2
由題意得:f′(1)=0,a=-$\frac{1}{3}$,
經(jīng)檢驗(yàn)符合題意,
故a=-$\frac{1}{3}$;
(2)f(x)=x3lnx-$\frac{1}{3}$x3+b,(x>0),
∴f′(x)=3x2lnx,
令f′(x)>0,解得:x>1,
令f′(x)<0,解得:x<1,
∴f(x)在($\frac{1}{e}$,1)遞減,在(1,e)遞增,
又f(1)=-$\frac{1}{3}$+b,f(e)=$\frac{{2e}^{3}}{3}$+b,
f($\frac{1}{e}$)=-$\frac{4}{{3e}^{3}}$+b,f(e)>f($\frac{1}{e}$),
∴x∈[$\frac{1}{e}$,e]時(shí),f(x)∈[-$\frac{1}{3}$+b,$\frac{{2e}^{3}}{3}$+b],
由題意得:-$\frac{1}{3}$+b>0或$\frac{{2e}^{3}}{3}$+b<0,
故b>$\frac{1}{3}$或b<-$\frac{{2e}^{3}}{3}$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題,考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,是一道中檔題.

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