4.已知函數(shù)f(x)=cos2x+2sin2x+2sinx.
(1)將函數(shù)f(2x)的圖象向右平移$\frac{π}{6}$個(gè)單位得到函數(shù)g(x)的圖象,若$x∈[{\frac{π}{12},\frac{π}{2}}]$,求函數(shù)g(x)的值域;
(2)已知a,b,c分別為銳角三角形ABC中角A,B,C的對(duì)邊,且滿足b=2,f(A)=$\sqrt{2}+1,\sqrt{3}$a=2bsinA,求△ABC的面積.

分析 (1)先利用二倍角和輔助角公式將函數(shù)化為y=Asin(ωx+φ)的形式,根據(jù)三角函數(shù)平移變換的規(guī)律,求解出g(x),$x∈[{\frac{π}{12},\frac{π}{2}}]$時(shí),求出內(nèi)層函數(shù)的取值范圍,結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì),求出f(x)的取值最大和最小值,即得到f(x)的值域.
(2)利用f(A)=$\sqrt{2}+1,\sqrt{3}$a=2bsinA,b=2,求出角A和a的大小,可得求△ABC的面積.

解答 解:函數(shù)f(x)=cos2x+2sin2x+2sinx=cos2x+(1-cos2x)+2sinx=1+2sinx,
(1)函數(shù)f(2x)=1+2sin2x的圖象向右平移$\frac{π}{6}$個(gè)單位得到函數(shù)g(x)=1+2sin2(x$-\frac{π}{6}$).
∴$g(x)=2sin({2x-\frac{π}{3}})+1$,
∵$x∈[{\frac{π}{12},\frac{π}{2}}]$,
∴$2x-\frac{π}{3}∈[{-\frac{π}{6},\frac{2π}{3}}]$,
當(dāng)$x=\frac{π}{12}$時(shí),g(x)min=0;
當(dāng)$x=\frac{5}{12}π$時(shí),g(x)max=3
∴函數(shù)g(x)的值域?yàn)閇0,3].
(2)由已知$\sqrt{3}a=2bsinA$及正弦定理得:$\sqrt{3}sinA=2sinBsinA$,
∴$sinB=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$,
∵$0<B<\frac{π}{2}$,
∴$B=\frac{π}{3}$,
由$f(A)=\sqrt{2}+1$可得$sinA=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$,從而$A=\frac{π}{4}$
由正弦定理得:$a=\frac{{2\sqrt{6}}}{3}$,
∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}absinC=\frac{1}{2}×\frac{{2\sqrt{6}}}{3}×2×\frac{{\sqrt{6}+\sqrt{2}}}{4}=\frac{{3+\sqrt{3}}}{3}$.

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查對(duì)三角函數(shù)的化簡(jiǎn)能力和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運(yùn)用,利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)和平移變換是解決本題的關(guān)鍵.同時(shí)考查了正弦定理的運(yùn)用.屬于中檔題.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

14.已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,公比q>0,S2=2a2-2,S3=a4-2
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)bn=$\left\{\begin{array}{l}\frac{{{{log}_2}{a_n}}}{{{n^2}({n+2})}}n為奇數(shù)\\ \frac{n}{a_n}\;\;n為偶數(shù)\end{array}$,Tn為{bn}的前n項(xiàng)和,求Tn

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15.如果直線 x+2ay-1=0與直線(3a-1)x-ay-1=0平行,則系數(shù)a的值為( 。
A.0或6B.0或$\frac{1}{6}$C.6或 $\frac{1}{6}$D.$\frac{1}{6}$

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12.已知函數(shù)F(x)=lnx(x>1)的圖象與函數(shù)G(x)的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱,若函數(shù)f(x)=(k-1)x-G(-x)無(wú)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)k的取值范圍是( 。
A.(1-e,1)B.(1-e,∞)C.(1-e,1]D.(-∞,1-e)∪[1,+∞)

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19.《萊因德紙草書》(Rhind Papyrus)是世界上最古老的數(shù)學(xué)著作之一,書中有這樣一道題:把120個(gè)面包分成5份,使每份的面包數(shù)成等差數(shù)列,且較多的三份之和恰好是較少的兩份之和的7倍,則最多的那份有面包( 。
A.43個(gè)B.45個(gè)C.46個(gè)D.48個(gè)

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9.若曲線y=ln(x+a)的一條切線為y=ex+b,其中a,b為正實(shí)數(shù),則a+$\frac{e}{b+2}$的取值范圍是(  )
A.$({\frac{2}{e}+\frac{e}{2},+∞})$B.[e,+∞)C.[2,+∞)D.[2,e)

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16.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和${S_n}={n^2}+{a_n}-1$,且a1,a4是等比數(shù)列{bn}的前兩項(xiàng),記bn與bn+1之間包含的數(shù)列{an}的項(xiàng)數(shù)為cn,如b1與b2之間包含{an}中的項(xiàng)為a2,a3,則c1=2.
(1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式;
(2)求數(shù)列{ancn}的前n項(xiàng)和.

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13.(1)證明:若實(shí)數(shù)a,b,c成等比數(shù)列,n為正整數(shù),則an,bn,cn也成等比數(shù)列;
(2)設(shè)z1,z2均為復(fù)數(shù),若z1=1+i,z2=2-i,則$|{{z_1}•{z_2}}|=\sqrt{2}×\sqrt{5}=\sqrt{10}$;若z1=3-4i,z2=4+3i,則|z1•z2|=5×5=25;若${z_1}=\frac{1}{2}-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$,${z_2}=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}+\frac{{\sqrt{2}}}{2}i$,則|z1•z2|=1×1=1.通過(guò)這三個(gè)小結(jié)論,請(qǐng)歸納出一個(gè)結(jié)論,并加以證明.

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14.已知正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,當(dāng)n≥2時(shí),(an-Sn-12=SnSn-1,且a1=1,設(shè)b${\;}_{n}=lo{g}_{2}\frac{{a}_{n+1}}{6}$,則b1+b2+…+b10等于( 。
A.64B.72C.80D.90

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