14.已知正項數(shù)列{an}的前n項和為Sn,當n≥2時,(an-Sn-12=SnSn-1,且a1=1,設b${\;}_{n}=lo{g}_{2}\frac{{a}_{n+1}}{6}$,則b1+b2+…+b10等于( 。
A.64B.72C.80D.90

分析 把已知數(shù)列遞推式變形可得Sn=4Sn-1 (n≥2).則數(shù)列{Sn}是以S1=1為首項,以4為公比的等比數(shù)列,求出${S}_{n}={4}^{n-1}$,則數(shù)列{an}的通項公式可求,代入$_{n}=lo{g}_{2}\frac{{a}_{n+1}}{6}$,由對數(shù)的運算性質求解.

解答 解:由(an-Sn-12=SnSn-1,得(Sn-2Sn-12=SnSn-1,即${{S}_{n}}^{2}-5{S}_{n}{S}_{n-1}+4{{S}_{n-1}}^{2}=0$,
解得:Sn=Sn-1(舍),或Sn=4Sn-1 (n≥2).
則數(shù)列{Sn}是以S1=1為首項,以4為公比的等比數(shù)列,
∴${S}_{n}={4}^{n-1}$,則${a}_{n}={S}_{n}-{S}_{n-1}={4}^{n-1}-{4}^{n-2}=3•{4}^{n-2}$(n≥2).
a1=1不適合上式,
∴${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{1,n=1}\\{3•{4}^{n-2},n≥2}\end{array}\right.$.
又$_{n}=lo{g}_{2}\frac{{a}_{n+1}}{6}$,
∴b1+b2+…+b10 =$lo{g}_{2}\frac{3•{4}^{0}}{6}+lo{g}_{2}\frac{3•{4}^{1}}{6}+…+lo{g}_{2}\frac{3•{4}^{9}}{6}$=$lo{g}_{2}{2}^{80}=80$.
故選:C.

點評 本題考查數(shù)列遞推式,考查了等比關系的確定,考查對數(shù)的運算性質,是中檔題.

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