Question

【題目】已知以為焦點(diǎn)的橢圓過(guò)點(diǎn).

（1）求橢圓方程.

（2）設(shè)橢圓的左頂點(diǎn)為，線段的垂直平分線交橢圓于兩點(diǎn)，求的面積.

Answer 1

【答案】(1)；(2)

【解析】

（1）設(shè)出橢圓方程，由焦點(diǎn)坐標(biāo)、橢圓上的一點(diǎn)坐標(biāo)，列方程求解即可；

（2）先求出點(diǎn)M、N的坐標(biāo)，根據(jù)三角形面積公式即可求得.

（1）設(shè)橢圓方程為：，

因?yàn)槠浣裹c(diǎn)為，則

； ①

又因?yàn)闄E圓過(guò)點(diǎn)，則點(diǎn)P的坐標(biāo)滿(mǎn)足橢圓方程：

②

結(jié)合： ③，

由①②③可解得：

，故橢圓方程為：.

（2）由題意，作圖如下：

由（1）可知，橢圓的左頂點(diǎn)坐標(biāo)為，又，

故線段的垂直平分線的方程為：，

即，

又因?yàn)?/span>M、N均為垂直平分線與橢圓的交點(diǎn)，故當(dāng)時(shí)，

求得：，解得，

綜上所述：點(diǎn)M坐標(biāo)為，點(diǎn)N坐標(biāo)為

由此解得： ①

又點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則點(diǎn)P到直線MN的距離

②

故.