Question

18．如圖，三棱錐A-BCD中，AB⊥平面BCD，AC=AD=2，BC=BD=1，點E是線段AD的中點．
（1）如果CD=$\sqrt{2}$，求證：平面BCE⊥平面ABD；
（2）如果∠CBD=$\frac{2π}{3}$，求二面角A-BE-C的余弦值．

Answer 1

分析 （1）推導出BC⊥BD，AB⊥BC，從而BC⊥平面ABD，由此能證明平面BCE⊥平面ABD．
（2）以點B為原點，在平面BCD內(nèi)垂直于DB的直線為x軸，BD，BA所在直線為y軸，z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角A-BE-C的余弦值．

解答 證明：（1）∵BC=BD=1，CD=$\sqrt{2}$，∴BC⊥BD，
∵AB⊥平面BCD，BC?平面BCD，∴AB⊥BC，
∵AB∩BD=B，∴BC⊥平面ABD，
∵BC?平面BCE，∴平面BCE⊥平面ABD．
解：（2）以點B為原點，在平面BCD內(nèi)垂直于DB的直線為x軸，BD，BA所在直線為y軸，z軸，建立空間直角坐標系，
則A（0，0，$\sqrt{3}$），C（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{1}{2}$，0），D（0，2，0），
E（0，$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），B（0，0，0），
$\overrightarrow{BC}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{1}{2}$，0），$\overrightarrow{BE}$=（0，$\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}$），
設(shè)$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）是平面BCE的一個法向量，
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=\frac{\sqrt{3}}{2}x-\frac{1}{2}y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BE}=\frac{1}{2}y+\frac{\sqrt{3}}{2}z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，$\sqrt{3}$，-1），
平面ABD的法向量$\overrightarrow{m}$=（1，0，0），
設(shè)二面角A-BE-C的平面角為θ，
則cosθ=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$．
∴二面角A-BE-C的余弦值為$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

點評 本題考查面面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．