Question

9．如圖所示，四棱錐S-ABCD的底面是正方形，每條側(cè)棱的長都是底面邊長的$\sqrt{2}$倍，點(diǎn)P在側(cè)棱SD上，且SP=3PD．
（1）求證：AC⊥SD；
（2）若$AB=\sqrt{2}$，求三棱錐D-ACP的體積；
（3）側(cè)棱SC上是否存在一點(diǎn)E，使得BE∥平面PAC，若存在，求$\frac{SE}{EC}$的值；若不存在，試說明理由．

Answer 1

分析 （1）法一（幾何法）：連BD，設(shè)AC交BD于O，則SO⊥AC，在正方形ABCD中，AC⊥BD，根據(jù)線面垂直的判定定理可知AC⊥平面SBD，SD?平面SBD，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可知AC⊥SD．
法二（向量法）：以O(shè)為原點(diǎn)，以$\overrightarrow{OB}$、$\overrightarrow{OC}$、$\overrightarrow{OS}$分別為x軸、y軸、z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明AC⊥SD．
（2）三棱錐D-ACP的體積V_D-ACP=V_P-ADC，由此能求出結(jié)果．
（3）求出平面PAC的一個(gè)法向量，利用向量法能求出當(dāng)$\frac{SE}{EC}$=2時(shí)，BE∥平面PAC．

解答 證明：（1）證法一：（幾何法）連結(jié)BD，設(shè)AC交BD于O，連結(jié)SO，
∵四棱錐S-ABCD的底面是正方形，每條側(cè)棱的長都是底面邊長的$\sqrt{2}$倍，
∴SO⊥AC，SO⊥BD，
∵AC∩BD=O，∴SO⊥底面ABCD，
∵AC?底面ABCD，∴SO⊥AC．
在正方形ABCD中，AC⊥BD，
∵SO∩BD=O，∴AC⊥平面SBD，
∵SD?平面SBD，∴AC⊥SD．
證法二：（向量法）以O(shè)為原點(diǎn)，以$\overrightarrow{OB}$、$\overrightarrow{OC}$、$\overrightarrow{OS}$分別為x軸、y軸、z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)設(shè)底面邊長為a，則高SO=$\frac{\sqrt{6}}{2}$a．則S（0，0，$\frac{\sqrt{6}}{2}$a），D（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，0，0），C（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，0），
$\overrightarrow{SD}$=（-$\frac{\sqrt{2}}{2}a$，0，-$\frac{\sqrt{6}}{2}a$），$\overrightarrow{AC}$=（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}a$，0），
$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{SD}$=0，
∴AC⊥SD．
解：（2）∵$AB=\sqrt{2}$，∴SA=SB=SC=SD=2，
∵點(diǎn)P在側(cè)棱SD上，且SP=3PD，∴P到平面ADC的距離h=$\frac{1}{4}PO=\frac{1}{4}\sqrt{4-1}=\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴三棱錐D-ACP的體積：
V_D-ACP=V_P-ADC=$\frac{1}{3}×h×{S}_{△ADC}$=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}×\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{12}$．
（3）P（-$\frac{3\sqrt{2}}{8}$a，$\frac{\sqrt{6}}{8}$a），$\overrightarrow{OC}$=（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}a$，0），$\overrightarrow{SD}$=（-$\frac{\sqrt{2}}{2}a$，0，-$\frac{\sqrt{6}}{2}a$），$\overrightarrow{AC}$=（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}a$，0），$\overrightarrow{AP}$=（-$\frac{3\sqrt{2}}{8}$a，0，$\frac{\sqrt{6}}{8}a$），
$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{SD}$=0，$\overrightarrow{SD}•$$\overrightarrow{AP}$=0，
∴AC⊥SD，AP⊥SD，
∴平面PAC的一個(gè)法向量為$\overrightarrow{DS}$=（$\frac{\sqrt{2}}{2}a$，0，$\frac{\sqrt{6}}{2}a$），
在棱SC上存在一點(diǎn)E使BE∥平面PAC．，
∵$\overrightarrow{DS}$=（$\frac{\sqrt{2}}{2}a$，0，$\frac{\sqrt{6}}{2}a$）是平面PAC的一個(gè)法向量，且$\overrightarrow{CS}$=（0，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，$\frac{\sqrt{6}}{2}a$），
設(shè)$\overrightarrow{CE}$=t$\overrightarrow{CS}$（0≤t≤1），
$\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{BC}+t\overrightarrow{CS}$=（-$\frac{\sqrt{2}}{2}a，\frac{\sqrt{2}}{2}a（1-t），\frac{\sqrt{6}}{2}at$），
由$\overrightarrow{BE}•\overrightarrow{DS}$=-$\frac{1}{2}a+\frac{3}{2}at$=0，解得t=$\frac{1}{3}$，
∴當(dāng)$\frac{SE}{EC}$=2時(shí)，BE∥平面PAC．

點(diǎn)評 本題考查線線垂直的證明，考查三棱錐的體積的求法，考查滿足線面平行的點(diǎn)的位置的確定，考查空間想象能力、運(yùn)算求解能力、推理論證能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．