20.正四面體相鄰兩個(gè)面所成的二面角的大小為$arccos\frac{1}{3}$.

分析 由題意畫(huà)出圖形,結(jié)合對(duì)稱性找出一個(gè)二面角的平面角,求解直角三角形得答案.

解答 解:如圖,四面體P-ABC為正四面體,
設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為a,過(guò)P作PO⊥面ABC,
則O為底面三角形中心,
連接CO并延長(zhǎng),交AB于E,連接PE,則PE⊥AB,
∠PEO為二面角P-AB-C的平面角,
$PE=CE=\frac{\sqrt{3}}{2}a$,$OE=\frac{1}{3}CE=\frac{\sqrt{3}}{6}a$,
在Rt△POE中,cos∠PEO=$\frac{OE}{PE}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{6}a}{\frac{\sqrt{3}}{2}a}=\frac{1}{3}$,
∴∠PEO=arccos$\frac{1}{3}$.
即正四面體相鄰兩個(gè)面所成的二面角的大小為$arccos\frac{1}{3}$.
故答案為:$arccos\frac{1}{3}$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查二面角的平面角的求法,考查正四面體的概念,正確找出二面角的平面角是解答該題的關(guān)鍵,是中檔題.

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10.已知函數(shù)f(x)=lnx,$g(x)=\frac{a}{x}(a>0)$,F(xiàn)(x)=f(x)+g(x).
(1)若函數(shù)F(x)在區(qū)間[1,e]上的最小值是$\frac{3}{2}$,求a的值;
(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)是函數(shù)f(x)圖象上任意不同的兩點(diǎn),直線AB的斜率為k,且a=1,求證:$k>g(\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2})$.

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11.如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為$\sqrt{3}$,動(dòng)點(diǎn)P在對(duì)角線BD1上,過(guò)點(diǎn)P作垂直于BD1的平面α,記平面α截正方體得到的截面多邊形(含三角形)的周長(zhǎng)為y=f(x),設(shè)BP=x,x∈(0,3),關(guān)于函數(shù)y=f(x):
(Ⅰ)下列說(shuō)法中,正確的是②③
①當(dāng)x∈(1,2)時(shí),截面多邊形為正六邊形;
②函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于$x=\frac{3}{2}$對(duì)稱;
③任取x1,x2∈[1,2]時(shí),f(x1)=f(x2).
(Ⅱ)函數(shù)y=f(x)單調(diào)區(qū)間為單調(diào)遞增區(qū)間(0,1),單調(diào)遞減區(qū)間(2,3).

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8.已知函數(shù)f(x)=ex-$\frac{1}{2}$kx2-2x+2,f′(x)是的導(dǎo)函數(shù).
(1)求f′(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若k=1,證明:當(dāng)x>0時(shí),f(x)>0.

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15.已知函數(shù)$f(x)=sin(2x+ϕ)+cos(2x+ϕ)(-\frac{π}{2}<ϕ<\frac{π}{2})$的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)$(π,\frac{{\sqrt{2}}}{2})$,則f(x)的最小正周期為π,ϕ的值為$-\frac{π}{12}$.

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5.在四面體P-ABC的四個(gè)面中,是直角三角形的面至多有( 。﹤(gè).
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12.求方程(sinx+cosx)tanx=2cosx在區(qū)間(0,π)上的解.

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10.過(guò)點(diǎn)A(4,$\frac{3π}{2}$)引圓ρ=4sinθ的一條切線,則切線長(zhǎng)為( 。
A.3$\sqrt{3}$B.6$\sqrt{3}$C.2$\sqrt{3}$D.4$\sqrt{2}$

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