10.已知函數(shù)f(x)=lnx,$g(x)=\frac{a}{x}(a>0)$,F(xiàn)(x)=f(x)+g(x).
(1)若函數(shù)F(x)在區(qū)間[1,e]上的最小值是$\frac{3}{2}$,求a的值;
(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)是函數(shù)f(x)圖象上任意不同的兩點(diǎn),直線(xiàn)AB的斜率為k,且a=1,求證:$k>g(\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2})$.

分析 (1)先求導(dǎo),再根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性和最值的關(guān)系,分類(lèi)討論,即可求出a的值.
(2)先求f(x)的導(dǎo)函數(shù),得到f′(x0),在利用斜率公式求出過(guò)這兩點(diǎn)的斜率公式,利用構(gòu)造函數(shù)并利用構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性比較大;

解答 解:(1)f(x)=lnx,$g(x)=\frac{a}{x}(a>0)$,
∴F(x)=f(x)+g(x)=lnx+$\frac{a}{x}$,x>0,
∴F′(x)=$\frac{1}{x}$-$\frac{a}{{x}^{2}}$=$\frac{x-a}{{x}^{2}}$,x>0,
當(dāng)F′(x)>0時(shí),解得x>a,函數(shù)單調(diào)遞增,
當(dāng)F′(x)<0時(shí),解得0<x<a,函數(shù)單調(diào)遞減,
∵x∈[1,e],
當(dāng)0<a≤1時(shí),F(xiàn)′(x)在[1,e]上單調(diào)遞增,F(xiàn)(x)min=F(1)=a=$\frac{3}{2}$,不合題意,
當(dāng)1<a<e時(shí),F(xiàn)′(x)在[1,a]上單調(diào)遞減,在(a,e]上函數(shù)單調(diào)遞增,
∴F(x)min=F(a)=lna+1=$\frac{3}{2}$,解得a=$\sqrt{e}$,
當(dāng)a≥e,F(xiàn)′(x)在[1,e]上單調(diào)遞減,F(xiàn)(x)min=F(e)=1+$\frac{a}{e}$=$\frac{3}{2}$,解得a=$\frac{e}{2}$,不合題意,
綜上所述a=$\sqrt{e}$,
(2)∵A(x1,y1),B(x2,y2)是函數(shù)f(x)圖象上任意不同的兩點(diǎn),
設(shè)線(xiàn)段AB的中點(diǎn)(x0,y0),
當(dāng)a=1時(shí),g(x)=$\frac{1}{x}$,
∴g($\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$)=g(x0
∵f(x)=lnx,
∴f′(x)=$\frac{1}{x}$,
∴g(x0)=f′(x0),
∵設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)是函數(shù)f(x)圖象上任意不同的兩點(diǎn),
∴k=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=$\frac{ln{x}_{2}-ln{x}_{1}}{{x}_{2-}{x}_{1}}$=$\frac{ln\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$
不妨設(shè)x2>x1,只要比較k與f'(x0)的大小,
即比較$\frac{ln\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$與$\frac{2}{{x}_{1}+{x}_{2}}$的大小
又∵x2>x1,
∴即比較ln$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$與$\frac{2({x}_{2}-{x}_{1})}{{x}_{1}+{x}_{2}}$=$\frac{2(\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}-1)}{\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}+1}$的大小.
令h(x)=lnx-$\frac{2(x-1)}{x+1}$,(x≥1),
則h′(x)=$\frac{1}{x}$-$\frac{4}{(x+1)^{2}}$=$\frac{(x-1)^{2}}{x(x+1)^{2}}$≥0
∴h(x)在[1,+∞)上是增函數(shù).
又$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$>1,
∴h($\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$)>h(1)=0,
∴l(xiāng)n$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$>$\frac{2(\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}-1)}{\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}+1}$,
∴k>f′(x0),
∴$k>g(\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2})$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)函數(shù)求函數(shù)的最值,還考查了構(gòu)造函數(shù)并利用構(gòu)造的函數(shù)的單調(diào)性把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為恒成立的問(wèn)題,重點(diǎn)考查了學(xué)生的轉(zhuǎn)化的思想及構(gòu)造的函數(shù)與思想.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(2)若k>0,且對(duì)于任意x∈R,f(|x|)>0恒成立,試確定實(shí)數(shù)k的取值范圍;
(3)設(shè)函數(shù)g(x)=f(x)+f(-x),求證:g(1)g(2)…g(2n)>(e2n+1+2)n(n∈N+).

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18.設(shè)函數(shù)f(x)=xlnx(x>0):
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(2)設(shè)F(x)=ax2+f′(x)(a∈R),F(xiàn)(x)是否存在極值,若存在,請(qǐng)求出極值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;
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(1)證明:在側(cè)棱AA1上存在一點(diǎn)E,使得OE⊥平面BB1C1C,并求出AE的長(zhǎng);
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②f(x)的最小值是$f(\frac{π}{3})$
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④f(x)在$[\frac{π}{3},π]$上是減函數(shù).

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