Question

14．設(shè)F為拋物線C：y²=8x，曲線y=$\frac{k}{x}$（k＞0）與C交于點(diǎn)A，直線FA恰與曲線y=$\frac{k}{x}$（k＞0）相切于點(diǎn)A，直線FA于C的準(zhǔn)線交于點(diǎn)B，則$\frac{|FA|}{|BA|}$等于（　�。�

• A． $\frac{1}{4}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{2}{3}$
• D． $\frac{3}{4}$

Answer 1

分析 先根據(jù)拋物線的定義求出焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程，設(shè)A（x₀，y₀），根據(jù)題意可求出A（1，2$\sqrt{2}$），繼而求出答案．

解答 解：F為拋物線C：y²=8x的焦點(diǎn)，則F（2，0），其準(zhǔn)線方程為x=-2，
設(shè)A（x₀，y₀）
∵y=$\frac{k}{x}$，
∴k=x₀y₀=2x₀$\sqrt{2{x}_{0}}$
∴y′=-$\frac{k}{{x}^{2}}$，
∴直線AF的斜率為-$\frac{k}{{x}_{0}^{2}}$=-$\frac{2\sqrt{2{x}_{0}}}{{x}_{0}}$
∵k_AF=$\frac{{y}_{0}-0}{{x}_{0}-2}$=，
∴-$\frac{2\sqrt{2{x}_{0}}}{{x}_{0}}$=$\frac{2\sqrt{2{x}_{0}}}{{x}_{0}-2}$，
解得x₀=1，
∴A（1，2$\sqrt{2}$），
∴AC=1+2=3，F(xiàn)D=4，
∴$\frac{AB}{BF}$=$\frac{AC}{FD}$=$\frac{3}{4}$，
∴$\frac{AB}{AB+1}$=$\frac{3}{4}$，
∴AB=3，
∴$\frac{|FA|}{|BA|}$=$\frac{1}{3}$，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．拋物線中涉及焦半徑的問(wèn)題常利用拋物線的定義轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離來(lái)解決．