分析 (Ⅰ)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),計(jì)算f(1),f′(1),得到關(guān)于a,b的方程組,解出即可;
(Ⅱ)問題轉(zhuǎn)化為$\frac{2x-xlnx}{x+1}$<m,令g(x)=$\frac{2x-xlnx}{x+1}$,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出g(x)的最大值,從而求出a的范圍即可;
(Ⅲ)問題轉(zhuǎn)化為證明:xlnx+x>$\frac{x}{{e}^{x}}$-$\frac{2}{e}$對?x>0成立,設(shè)φ(x)=xlnx+x(x>0),g(x)=$\frac{x}{{e}^{x}}$-$\frac{2}{e}$(x>0),根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性分別求出φ(x)的最小值和g(x)的最大值即可.
解答 解:(Ⅰ)f′(x)=$\frac{\frac{x}(x+1)-(a+blnx)}{{(x+1)}^{2}}$,
而點(diǎn)(1,f(1))在直線x+y=2上,∴f(1)=1,
又直線x+y=2的斜率為-1,∴f′(1)=-1,
故有$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a}{2}=1}\\{\frac{2b-a}{4}=-1}\end{array}\right.$,解得:$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=-1}\end{array}\right.$;
(Ⅱ)由(Ⅰ)得f(x)=$\frac{2-lnx}{x+1}$(x>0),由xf(x)<m,得:$\frac{2x-xlnx}{x+1}$<m,
令g(x)=$\frac{2x-xlnx}{x+1}$,g′(x)=$\frac{1-x-lnx}{{(x+1)}^{2}}$,
令h(x)=1-x-lnx,則h′(x)=-1-$\frac{1}{x}$<0,(x>0),
∴h(x)在區(qū)間(0,+∞)上是減函數(shù),
∴當(dāng)0<x<1時,h(x)>h(1)=0,當(dāng)x>1時,h(x)<h(1)=0,
從而當(dāng)0<x<1時,g′(x)>0,當(dāng)x>1時,g′(x)<0,
∴g(x)在(0,1)是增函數(shù),在(1,+∞)是減函數(shù),
故g(x)max=g(1)=1,
要使$\frac{2x-xlnx}{x+1}$<m成立,只需m>1,故m的取值范圍是(1,+∞);
(Ⅲ)證明:要證3-(x+1)•f(x)=lnx+1>$\frac{1}{{e}^{x}}$-$\frac{2}{ex}$,對?x>0成立,
即證明:xlnx+x>$\frac{x}{{e}^{x}}$-$\frac{2}{e}$對?x>0成立,
設(shè)φ(x)=xlnx+x(x>0),φ′(x)=lnx+2,
當(dāng)x>e-2時,φ′(x)>0,φ(x)遞增;當(dāng)0<x<e-2時,φ′(x)<0,φ(x)遞減;
∴φ(x)min=φ(e-2)=-$\frac{1}{{e}^{2}}$,
設(shè)g(x)=$\frac{x}{{e}^{x}}$-$\frac{2}{e}$(x>0),g′(x)=$\frac{1-x}{{e}^{x}}$,
當(dāng)0<x<1時,g′(x)>0,g(x)遞增;當(dāng)x>1時,g′(x)<0,g(x)遞減;
∴g(x)max=g(1)=-$\frac{1}{e}$,∴φ(x)min=-$\frac{1}{{e}^{2}}$>g(x)max=-$\frac{1}{e}$,
∴xlnx+x>$\frac{x}{{e}^{x}}$-$\frac{2}{e}$,對?x>0成立,
∴3-(x+1)f(x)=lnx+1>$\frac{1}{{e}^{x}}$-$\frac{2}{ex}$對?x>0成立.
點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題,考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及轉(zhuǎn)化思想,是一道綜合題.
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A. | 4π | B. | $\frac{32π}{3}$ | C. | 16π | D. | 32π |
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A. | 對于任意實(shí)數(shù)x恒有f(x)≥g(x) | B. | 存在正實(shí)數(shù)x使得f(x)>g(x) | ||
C. | 對于任意實(shí)數(shù)x恒有f(x)≤g(x) | D. | 存在正實(shí)數(shù)x使得f(x)<g(x) |
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x | 1.5 | 3 | 5 | 6 | 8 | 9 | 12 |
lgx | 3a-b+c | 2a-b | a+c | 1+a-b-c | 3(1-a-c) | 2(2a-b) | 1-a+2b |
A. | lg1.5≠3a-b+c,lg12≠1-a+2b | B. | lg3≠2a-b,lg9≠2(2a-b) | ||
C. | lg5≠a+c,lg8≠3(1-a-c) | D. | lg3≠2a-b,lg6≠1+a-b-c |
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