Question

16．已知動點P到定直線l：x=-2的距離比到定點F（$\frac{1}{2}$，0）的距離大$\frac{3}{2}$
（Ⅰ）求動點P的軌跡C的方程；
（Ⅱ）過點D（2，0）的直線交軌跡C于A，B兩點，直線OA，OB分別交直線l于點M，N，證明：以MN為直徑的圓被x軸截得的弦長為定值，并求出此定值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用直接法，求動點P的軌跡C的方程；
（Ⅱ）求出M，N的坐標，可得以MN為直徑的圓的方程，即可得出結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）設點P的坐標為（x，y），因為動點P到定直線l：x=-2的距離比到定點F（$\frac{1}{2}$，0）的距離大$\frac{3}{2}$，
所以x＞-2且$\sqrt{（x-\frac{1}{2}）^{2}+{y}^{2}}$=|x+2|-$\frac{3}{2}$，
化簡得y²=2x，
∴軌跡C的方程為y²=2x．
（Ⅱ）設A（2t₁²，2t₁），B（2t₂²，2t₂）（t₁t₂≠0），則
∵A，D，B三點共線，
∴2t₂（2t₁²-2=2t₁（2t₂²-2）），
又t₁≠t₂，∴t₁t₂=-1，
直線OA的方程為y=$\frac{1}{{t}_{1}}$x，令x=-2，得M（-2，-$\frac{2}{{t}_{1}}$）．
同理可得N（-2，-$\frac{2}{{t}_{2}}$）．
所以以MN為直徑的圓的方程為（x+2）（x+2）+（y+$\frac{2}{{t}_{1}}$）（y+$\frac{2}{{t}_{2}}$）=0，
將t₁t₂=-1代入上式，可得（x+2）²+y²-2（t₁+t₂）y-4=0，
令y=0，即x=0或x=-4，
故以MN為直徑的圓被x軸截得的弦長為定值4．

點評 本題考查軌跡方程，考查圓的方程，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．