Question

1．若數(shù)列{A_n}：a₁，a₂，…，a_n（n≥2）滿足|a_k+1-a_k|=1（k=1，2，3，…，n-1），數(shù)列A_n為G數(shù)列，記S（A_n）=a₁+a₂+…+a_n．
（1）寫出一個(gè)滿足a₁=a₇=0，且S（A₇）＞0的G數(shù)列A_n；
（2）若a₁=2，n=2016，證明：G數(shù)列A_n是遞增數(shù)列的充要條件是a_n=2017；
（3）對任意給定的整數(shù)n（n≥2），是否存在首項(xiàng)為0的G數(shù)列A_n，使得S（A_n）=0？如果存在，寫出一個(gè)滿足條件的G數(shù)列A_n；如果不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，a₁=a₇=0，a₂=1，a₃=2，再根據(jù)|a_k+1-a_k|=1求出符合題設(shè)的G數(shù)列A₇；
（2）可先證明必要性：由遞增數(shù)列的定義，得到A_n是首項(xiàng)為2，公差為1的等差數(shù)列．從而有a₂₀₁₆=
2017；再證充分性：由新定義推出a₂₀₁₆≤a₁+2015，又因?yàn)閍₁=2，a₂₀₁₆=2017，所以a₂₀₁₆=a₁+2015．得證；
（3）令c_k=a_k+1-a_k，分別求得a₂，a₃，a₄，…，a_n，由S（A_n）=a₁+a₂+a₃+…+a_n，求得S（A_n），由c_k=±1，1-c_k為偶數(shù)，可得n=4m，或n=4m+1（m∈N^*），分別求得G數(shù)列A_n，滿足S（A_n）=0的表達(dá)式．

解答 解：（1）G數(shù)列{A_n}：0，1，2，1，2，1，0；
（2）證明：必要性：因?yàn)镚數(shù)列A_n是遞增數(shù)列，
所以a_k+1-a_k=1（k=1，2，…，2015）．            
所以A₂₀₁₆是首項(xiàng)為2，公差為1的等差數(shù)列．
所以a₂₀₁₆=2+（2016-1）×1=2017．
充分性：由于a₂₀₁₆-a₂₀₁₅≤1，
a₂₀₁₅-a₂₀₁₄≤1
…
a₂-a₁≤1，
所以a₂₀₁₆-a₁≤2015，即a₂₀₁₆≤a₁+2015，
又因?yàn)閍₁=2，a₂₀₁₆=2017，
所以a₂₀₁₆=a₁+2015．
故a_n+1-a_n=1＞0（k=1，2，…，2015）即A_n是遞增數(shù)列．
綜上，結(jié)論得證；
（3）令c_k=a_k+1-a_k（k=1，2，…，n-1），則c_k=±1，于是由a₁=0，
得a₂=c₁，
a₃=a₂+c₂=c₁+c₂，
a₄=a₃+c₃=c₁+c₂+c₃，
…
a_n=a_n-1+c_n-1=c₁+c₂+…+c_n-1，
故S（A_n）=a₁+a₂+a₃+…+a_n，
=（n-1）c₁+（n-2）c₂+（n-3）c₃+…+2c_n-2+c_n-1，
=[（n-1）+（n-2）+（n-3）+…+2+1]+（n-1）（c₁-1）
+（n-2）（c₂-1）+（n-3）（c₃-1）+…+2（c_n-2-1）+（c_n-1-1），
=$\frac{n（n-1）}{2}$-[（n-1）（1-c₁）+（n-2）（1-c₂）+（n-3）（1-c₃）+…+2（1-c_n-2）+（1-c_n-1）]．
因c_k=±1，故1-c_k（k=1，2，…，n-1）為偶數(shù)，
所以（n-1）（1-c₁）+（n-2）（1-c₂）+（n-3）（1-c₃）+…+2（1-c_n-2）+（1-c_n-1）為偶數(shù)．
于是要使S（A_n）=0，必須$\frac{n（n-1）}{2}$為偶數(shù)，
即n（n-1）為4的倍數(shù)，亦即n=4m，或n=4m+1（m∈N^*）．
（ i）當(dāng)n=4m（m∈N^*）時(shí)，G數(shù)列A_n的項(xiàng)存在滿足：a_4k-1=a_4k-3=0，a_4k-2=1，a_4k=-1（k=1，2，…，m）時(shí)，S（A_n）=0．
（ ii）當(dāng)n=4m+1（m∈N^*）時(shí)，G數(shù)列A_n的項(xiàng)存在滿足：a_4k-1=a_4k-3=0，a_4k-2=1，a_4k=-1（k=1，2，…，m），a_4m+1=0時(shí)S（A_n）=0．

點(diǎn)評 本題考查新定義及理解，考查等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式及數(shù)列的綜合運(yùn)用，解題的關(guān)鍵在于對新定義的正確運(yùn)用，屬于難題．