Question

11．已知y=f（x）是定義在[-1，1]上的偶函數，與g（x）圖象關于x=1對稱，當x∈[2，3]時，g（x）=2a（x-2）-3（x-2）²，a為常數，若f（x）的最大值為12，則a=（　�。�

• A． 3
• B． 6
• C． 6或$\frac{15}{2}$
• D． $\frac{15}{2}$

Answer 1

分析 先根據f（x）與g（x）的圖象關于直線x=1對稱得出f（x）=g（2-x），根據g（x）的解析式，求出f（x）在[-1，0]上的解析式；再根據f（x）為偶函數得出f（x）在[0，1]上的解析式．利用函數的最大值求解a即可．

解答 解：∵f（x）與g（x）的圖象關于直線x=1對稱，
∴f（x）=g（2-x）．
∴當x∈[-1，0]時，2-x∈[2，3]，
∴f（x）=g（2-x）=-2ax-3x²．
又∵f（x）為偶函數，
∴x∈[[0，1]時，-x∈[-1，0]，
∴f（x）=f（-x）=ax-2x²．
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-2ax-3{x}^{2}，x∈[-1，0]}\\{2ax-3{x}^{2}，x∈[0，1]}\end{array}\right.$．
f（x）的最大值為12，x∈[0，1]時，當a≤0，不滿足題意，當a＞0時，最大值為：f（1）=2a-3=12，
解得a=$\frac{15}{2}$．
故選：D．

點評 本題主要考查函數的單調性和奇偶性的綜合運用．要利用好函數的對稱性和根據導函數的性質來判斷函數的單調性．