Question

18．如圖，在五棱錐S-ABCDE中，SA⊥底面ABCDE，SA=AB=AE=2，BC=DE=$\sqrt{3}$，∠BAE=∠BCD=∠CDE=120°
（Ⅰ）求異面直線CD與SB所成的角（用反三角函數(shù)值表示）；
（Ⅱ）求證BC⊥平面SAB；
（Ⅲ）用反三角函數(shù)值表示二面角B-SC-D的大�。ū拘�問不必寫出解答過程）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連結BE，由$BC=DE=\sqrt{3}$，得∠BCD=∠CDE=120°，推導出∠SBE 即為異面直線CD 與SB 所成的角．由此能求出異面直線CD 與SB 所成的角．
（Ⅱ）五邊形ABCDE 是軸對稱圖形，從而BC⊥AB，再求出SA⊥BC，由此能證明BC⊥平面SAB．
（Ⅲ）作出二面角的平面角∠DFG，由此能求出二面角B-SC-D 的大�。�

解答 解：（Ⅰ）連結BE，由$BC=DE=\sqrt{3}$，得∠BCD=∠CDE=120°，
由圖形的對稱性可知，四邊形BCDE 是等腰梯形，BE∥CD，
∴∠SBE 即為異面直線CD 與SB 所成的角．
∵SA⊥平面ABCDE，SA=AB=AE=2，
∴SA⊥AB，SA⊥AE，$SB=SE=2\sqrt{2}$．
在△ABE 中，∵AB=AE=2，∠BAE=120°，∴$BE=2\sqrt{3}$．
在△SBE 中，∵$SB=SE=2\sqrt{2}$，$BE=2\sqrt{3}$，
∴$cos∠SBE=\frac{{\sqrt{3}}}{{2\sqrt{2}}}=\frac{{\sqrt{6}}}{4}$，$∠SBE=arccos\frac{{\sqrt{6}}}{4}$．
因此，異面直線CD 與SB 所成的角為$arccos\frac{{\sqrt{6}}}{4}$．
證明：（Ⅱ）由（Ⅰ）知，四邊形BCDE 是等腰梯形，△ABE 是等腰三角形，
∴五邊形ABCDE 是軸對稱圖形，
∴$∠ABC=∠AEC=\frac{1}{2}（{540°}-{120°}-{120°}-{120°}）={90°}$，即BC⊥AB．
又∵SA⊥平面ABCDE，∴SA⊥BC．
而SA∩AB=A，∴BC⊥平面SAB．
解：（Ⅲ）作出二面角的平面角∠DFG，
由題意知二面角B-SC-D 的大小為$π-arccos\frac{{7\sqrt{82}}}{82}$．

點評 本小題主要考查異面直線所成角、線面垂直、二面角等基礎知識以及空間線面位置關系的證明、角和距離的計算，考查空間想象能力、邏輯推理能力和運算能力．