A. | 2 | B. | 2$\sqrt{2}$ | C. | 4 | D. | 4$\sqrt{2}$ |
分析 由題意可得|$\overrightarrow{AB}$|+|$\overrightarrow{DC}$|=2,|$\overrightarrow{BD}$|=2,$\overrightarrow{AB}$∥$\overrightarrow{DC}$,作如圖輔助線BE∥DC,且BE=DC,可得|$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{DC}$|=2,|$\overrightarrow{AC}$|=2$\sqrt{2}$,即三角形AEC是等腰直角三角形,再由向量的點乘運算的定義可解決.
解答 解:在四邊形ABCD中,∵|$\overrightarrow{AB}|+|\overrightarrow{BD|}+|\overrightarrow{DC}$|=4,$(|\overrightarrow{AB}|+|\overrightarrow{DC}|)|\overrightarrow{BD}$|=4,
∴|$\overrightarrow{AB}$|+|$\overrightarrow{DC}$|=2,|$\overrightarrow{BD}$|=2.
∵$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BD}•\overrightarrow{DC}$=0,∴$\overrightarrow{AB}$⊥$\overrightarrow{BD}$,$\overrightarrow{BD}$⊥$\overrightarrow{DC}$,∴$\overrightarrow{AB}$∥$\overrightarrow{DC}$,
作如圖輔助線BE∥DC,且BE=DC,連接CE,如圖,可得BECD為矩形,
∴|$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{DC}$|=|$\overrightarrow{AB}$|+|$\overrightarrow{DC}$|=|$\overrightarrow{AB}$|+|$\overrightarrow{BE}$|=|$\overrightarrow{AE}$|=2,
|$\overrightarrow{BD}$|=|$\overrightarrow{EC}$|=2,|$\overrightarrow{AC}$|=2$\sqrt{2}$,即三角形AEC是等腰直角三角形,
則$(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC})•\overrightarrow{AC}$=|$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{DC}$|•|$\overrightarrow{AC}$|•cos45°=2•2$\sqrt{2}$•$\frac{\sqrt{2}}{2}$=4,
故選:C.
點評 本題主要考查向量的線性運算和幾何意義.注意向量點乘為0時兩向量互相垂直,屬于中檔題.
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A. | $\frac{π}{4}$ | B. | $\frac{π}{3}$ | C. | $\frac{3π}{4}$ | D. | $\frac{2π}{3}$ |
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A. | 1 | B. | 3 | C. | 4 | D. | 5 |
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A. | 15 | B. | 12 | C. | 9 | D. | 與k的取值有關(guān) |
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A. | $\frac{1}{4}$ | B. | $\frac{3}{8}$ | C. | $\frac{1}{2}$ | D. | $\frac{5}{8}$ |
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A. | {x>-2011} | B. | {x|x<-2011} | C. | {x|-2011<x<0} | D. | {x|-2016<x<-2011} |
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