9．雙曲線E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點M是雙曲線E的漸近線上的一點，MF1⊥MF2，sin∠MF1F2=$\frac{1}{3}$，則該雙曲線的離心率為$\frac{9}{7}$．

分析 由題意設(shè)M是漸近線y=$\frac{a}$x上的一點，∠MOF2=2∠MF1F2，求出tan∠MOF2=$\frac{\frac{1}{\sqrt{2}}}{1-\frac{1}{8}}$=$\frac{4\sqrt{2}}{7}$，可得$\frac{a}$=$\frac{4\sqrt{2}}{7}$，即可求出e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+\frac{32}{49}}$=$\frac{9}{7}$．

解答 解：由題意，設(shè)M是漸近線y=$\frac{a}$x上的一點，∠MOF2=2∠MF1F2，
∵sin∠MF1F2=$\frac{1}{3}$，∴tan∠MF1F2=$\frac{1}{2\sqrt{2}}$，∴tan∠MOF2=$\frac{\frac{1}{\sqrt{2}}}{1-\frac{1}{8}}$=$\frac{4\sqrt{2}}{7}$，
∴$\frac{a}$=$\frac{4\sqrt{2}}{7}$，∴e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+\frac{32}{49}}$=$\frac{9}{7}$，
故答案為$\frac{9}{7}$．

點評 本題考查雙曲線的方程與性質(zhì)，考查二倍角公式，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

17．設(shè)集合A2n={1，2，3，…，2n}（n∈N*，n≥2）．如果對于A2n的每一個含有m（m≥4）個元素的子集P，P中必有4個元素的和等于4n+1，稱正整數(shù)m為集合A2n的一個“相關(guān)數(shù)”．
（Ⅰ）當(dāng)n=3時，判斷5和6是否為集合A6的“相關(guān)數(shù)”，說明理由；
（Ⅱ）若m為集合A2n的“相關(guān)數(shù)”，證明：m-n-3≥0；
（Ⅲ）給定正整數(shù)n．求集合A2n的“相關(guān)數(shù)”m的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

20．已知橢圓E的中心在坐標(biāo)原點O，焦點在x軸上，橢圓E的短軸端點和焦點所組成的四邊形為正方形，且橢圓E上任意一點到兩個焦點的距離之和為2$\sqrt{2}$．
（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若直線l：y=2x+m與橢圓E相交于M，N兩點，求△MON面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

17．設(shè)f（x）=|x-b|+|x+b|．
（1）當(dāng)b=1時，求f（x）≤x+2的解集；
（2）當(dāng)x=1時，若不等式f（x）≥$\frac{|a+1|-|2a-1|}{|a|}$對任意實數(shù)a≠0恒成立，求實數(shù)b的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

4．已知等差數(shù)列{an}滿足a4-a2=2，且a1，a3，a7成等比數(shù)列．
（1）求{an}的通項公式；
（2）設(shè)${b_n}=\frac{a_n}{{{a_{n-1}}}}+\frac{{{a_{n-1}}}}{a_n}-2$，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

14．已知點A，B的坐標(biāo)分別為（-$\sqrt{2}$，0），（$\sqrt{2}$，0），直線AM，BM相交于點M，且它們的斜率之積是-$\frac{1}{2}$，點M的軌跡為曲線E．
（Ⅰ）求E的方程；
（Ⅱ）過點F（1，0）作直線l交曲線E于P，Q兩點，交y軸于R點，若$\overrightarrow{RP}$=λ1$\overrightarrow{PF}$，$\overrightarrow{RQ}$=λ2$\overrightarrow{QF}$，求證：λ1+λ2為定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

1．設(shè)函數(shù)f（x）=（x-a）（x-b）（x-c）（其中a＞1，b＞1），x=0是f（x）的一個零點，曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線平行于x軸，則a+b的最小值為6．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

18．如圖，橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的右頂點為A（2，0），左、右焦點分別為F1、F2，過點A且斜率為$\frac{1}{2}$的直線與y軸交于點P，與橢圓交于另一個點B，且點B在x軸上的射影恰好為點F1．
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）過點P且斜率大于$\frac{1}{2}$的直線與橢圓交于M，N兩點（|PM|＞|PN|），若S△PAM：S△PBN=λ，求實數(shù)λ的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

19．已知實數(shù)x，y滿足$\left\{\begin{array}{l}{x-2y+1≥0}\\{x-y-1≤0}\\{x+y+1≥0}\end{array}\right.$，則z=$\frac{y}{x+1}$的取值范圍為（　�。�
A．[-1，$\frac{1}{2}$]B．（-∞，-1]∪[$\frac{1}{2}$，+∞）C．[0，$\frac{4}{3}$]D．（-∞，-2]∪[$\frac{4}{3}$，+∞）

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