Question

18．函數(shù)f（x）對任意的x∈R都有f（x）=f（2-x），且當x≠1時，其導函數(shù)f'（x）滿足xf'（x）＞f'（x），若1＜a＜2，則（　�。�

• A． f（2^a）＜f（2）＜f（log₂a）
• B． $f（2）＜f（{log_2}a）＜f（{2^a}）$
• C． $f（{log_2}a）＜f（{2^a}）＜f（2）$
• D． $f（{log_2}a）＜f（2）＜f（{2^a}）$

Answer 1

分析 函數(shù)f（x）對任意的x∈R都有f（x）=f（2-x），則函數(shù)f（x）關(guān)于直線x=1對稱．當x≠1時，其導函數(shù)f'（x）滿足xf'（x）＞f'（x），可得（x-1）f′（x）＞0，進而得到單調(diào)性．若1＜a＜2，則0＜log₂a＜1＜2＜2^a，f（log₂a）=f（2-log₂a），2-log₂a∈（1，2），即可得出．

解答 解：函數(shù)f（x）對任意的x∈R都有f（x）=f（2-x），則函數(shù)f（x）關(guān)于直線x=1對稱．
當x≠1時，其導函數(shù)f'（x）滿足xf'（x）＞f'（x），則（x-1）f′（x）＞0，
x＞1時，f′（x）＞0，此時函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；x＜1時，f′（x）＜0，此時函數(shù)f（x）單調(diào)遞減．
若1＜a＜2，則0＜log₂a＜1＜2＜2^a，f（log₂a）=f（2-log₂a），2-log₂a∈（1，2），
∴f（log₂a）=f（2-log₂a）＜f（2）＜f（2^a），
故選：D．

點評 本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、分類討論方法、轉(zhuǎn)化方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．