Question

5．已知A為橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）上一點(diǎn)，B為點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)，F(xiàn)為橢圓的左焦點(diǎn)，且AF⊥BF，若∠ABF∈[$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{4}$]，則該橢圓離心率的取值范圍為（　�。�

• A． [0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]
• B． [$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1）
• C． [0，$\frac{\sqrt{6}}{3}$]
• D． [$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{6}}{3}$]

Answer 1

分析 設(shè)左焦點(diǎn)為F′，根據(jù)橢圓定義：|AF|+|AF′|=2a，根據(jù)B和A關(guān)于原點(diǎn)對稱可知|BF|=|AF′|，推知|AF|+|BF|=2a，又根據(jù)O是Rt△ABF的斜邊中點(diǎn)可知|AB|=2c，在Rt△ABF中用∠ABF和c分別表示出|AF|和|BF|代入|AF|+|BF|=2a中即可表示出$\frac{c}{a}$即離心率e，進(jìn)而根據(jù)∠ABF的范圍確定e的范圍．

解答 解：∵B和A關(guān)于原點(diǎn)對稱，∴B在橢圓上，
設(shè)左焦點(diǎn)為F′，根據(jù)橢圓定義：|AF|+|AF′|=2a．
又∵|BF|=|AF′|，∴|AF|+|BF|=2a  …①
O是Rt△ABF的斜邊中點(diǎn)，∴|AB|=2c，
設(shè)∠ABF=α，則|AF|=2csinα，|BF|=2ccosα  …②
把②代入①得：2csinα+2ccosα=2a，
∴$\frac{c}{a}=\frac{1}{sinα+cosα}$，即e=$\frac{1}{sinα+cosα}=\frac{1}{\sqrt{2}sin（α+\frac{π}{4}）}$，
∵∴∈[$\frac{π}{12}，\frac{π}{4}$]，∴$\frac{π}{3}≤$$α+\frac{π}{4}$≤$\frac{π}{2}$，
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$≤sin（α+$\frac{π}{4}$）≤1，
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}≤e≤\frac{\sqrt{6}}{3}$．
故選：D．

點(diǎn)評 本題主要考查了橢圓的性質(zhì)，關(guān)鍵是橢圓定義的應(yīng)用，是中檔題．