17.已知a,b,c分別為△ABC三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊,$bcosA+\sqrt{3}bsinA-c-a=0$.
(1)求角B的大。     
(2)若$b=\sqrt{3}$,求a+c的最大值.

分析 (1)由正弦定理化簡(jiǎn)已知的等式,由內(nèi)角和定理、誘導(dǎo)公式、兩角和差的正弦公式化簡(jiǎn)后,由內(nèi)角的范圍和特殊角的三角函數(shù)值求出B;
(2)由(1)和余弦定理列出方程化簡(jiǎn)后,利用完全平方公式和基本不等式求出a+c的最大值.

解答 解:(1)由題意得,$bcosA+\sqrt{3}bsinA-c-a=0$,
由正弦定理得,$sinBcosA+\sqrt{3}sinBsinA-sinC-sinA=0$,
所以$sinBcosA+\sqrt{3}sinBsinA-sin({A+B})-sinA=0$,
則$sinBcosA+\sqrt{3}sinBsinA-sinAcosB-cosAsinB-sinA=0$,
化簡(jiǎn)得,$\sqrt{3}sinBsinA-sinAcosB-sinA=0$,
又sinA≠0,則$\sqrt{3}sinB-cosB=1$,…(4分),
即$sin({B-\frac{π}{6}})=\frac{1}{2}$,
由于B∈(0,π),所以$B=\frac{π}{3}$…(7分)
(2)由(1)和余弦定理得,b2=a2+c2-2accosB…(9分),
又b=$\sqrt{3}$,化簡(jiǎn)得a2+c2-ac=3…(11分),
所以${({a+c})^2}=3+3ac≤3+3{({\frac{a+c}{2}})^2}$,
解得a+c≤$2\sqrt{3}$,當(dāng)且僅當(dāng)a=c取等號(hào)…(14分)
所以當(dāng)$a=c=\sqrt{3}$時(shí),a+c的最大值為$2\sqrt{3}$.…(15分)

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正弦定理、余弦定理,內(nèi)角和定理、誘導(dǎo)公式、兩角和差的正弦公式,以及基本不等式在求最值中的應(yīng)用,考查化簡(jiǎn)、變形能力.

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例如:M={Φ,,{c},{b,c},{a,b,c}}是集合X={a,b,c}的一個(gè)“M-集合類(lèi)”.已知集合X={a,b,c},則所有含{b,c}的“M-集合類(lèi)”的個(gè)數(shù)為10.

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①A=90°,B=60°,C=30°;②A=75°,B=60°,C=45°;③A=75°,B=75°,C=30°;④A=75°,B=65°,C=45°.

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