Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若是的極小值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）若，證明：當(dāng)時(shí)，.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析

【解析】

（1）求得的定義域，并求導(dǎo)，利用分類(lèi)討論當(dāng)時(shí)，分析單調(diào)性顯然成立；當(dāng)時(shí)，令，得或，再利用分類(lèi)討論兩根的大小，分別分析單調(diào)性討論是否成立，得到當(dāng)時(shí)成立，當(dāng)時(shí)與當(dāng)時(shí)，都不成立，最后綜上得參數(shù)的取值范圍；

（2）由（1）可知當(dāng)時(shí)，得的單調(diào)性，從而表示；將所證不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為不等式對(duì)任意的都恒成立，構(gòu)建，利用導(dǎo)數(shù)求得值域，最后由不等式的性質(zhì)即可得證原不等式成立.

（1）的定義域?yàn)?/span>，

①當(dāng)時(shí)，，則，

令，得，

當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增；

此時(shí)是的極小值點(diǎn)，符合題意；

②當(dāng)時(shí)，令，得或.

（i）當(dāng)時(shí)，則，

所以當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，

此時(shí)是的極小值點(diǎn)，符合題意；

（ii）當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，不是的極值點(diǎn).

（iii）當(dāng)時(shí)，則，

所以當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，

此時(shí)是的極大值點(diǎn)，不符合題意.

綜合①②，得.

（2）證明：由（1）可知當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；

又，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；

所以當(dāng)或時(shí)，都有.

要證不等式對(duì)任意的都恒成立，

即證不等式對(duì)任意的都恒成立，

設(shè)，則.

設(shè)，且在上單調(diào)遞減；

所以方程的唯一解為，

所以當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減；

所以當(dāng)時(shí)，.

當(dāng)時(shí)，對(duì)任意都恒成立.

所以當(dāng)時(shí)，不等式對(duì)任意都恒成立.