Question

4．已知點M（a，b）與點N（0，-1）在直線3x-4y+5=0的兩側(cè)，給出以下結(jié)論：
①3a-4b+5＞0；
②當(dāng)a＞0時，a+b有最小值，無最大值；
③a²+b²＞1；
④當(dāng)a＞0且a≠1時，$\frac{b+1}{a-1}$的取值范圍是（-∞，-$\frac{9}{4}$）∪（$\frac{3}{4}$，+∞）．
正確的個數(shù)是（　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 根據(jù)點M（a，b）與點N（1，0）在直線3x-4y+5=0的兩側(cè)，可以畫出點M（a，b）所在的平面區(qū)域，進而結(jié)合二元一次不等式的幾何意義，兩點之間距離公式的幾何意義，及兩點之間連線斜率的幾何意義，逐一分析四個命題得結(jié)論．

解答 解：∵點M（a，b）與點N（0，-1）在直線3x-4y+5=0的兩側(cè)，
∴（3a-4b+5）（3×0+4+5）＜0，即3a-4b+5＜0，故①錯誤；
當(dāng)a＞0時，a+b＞$\frac{5}{4}$，a+b即無最小值，也無最大值，故②錯誤；
設(shè)原點到直線3x-4y+5=0的距離為d，則d=$\frac{|10|}{\sqrt{{3}^{2}+（-4）^{2}}}=2$，則a²+b²＞4，故③錯誤；
當(dāng)a＞0且a≠1時，$\frac{b+1}{a-1}$表示點M（a，b）與P（1，-1）連線的斜率．
∵當(dāng)a=0，b=$\frac{5}{4}$時，$\frac{b+1}{a-1}$=$\frac{\frac{5}{4}+1}{-1}=-\frac{9}{4}$，又直線3x-4y+5=0的斜率為$\frac{3}{4}$，
故$\frac{b+1}{a-1}$的取值范圍為（-∞，-$\frac{9}{4}$）∪（$\frac{3}{4}$，+∞），故④正確．
∴正確命題的個數(shù)是2個．
故選：B．

點評 本題考查的知識點是命題的真假判斷與應(yīng)用，線性規(guī)劃的簡單應(yīng)用，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．