Question

5．已知拋物線C：y²=mx（m＞0）的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A（0，-$\sqrt{3}$），若射線FA與拋物線C相交于點(diǎn)M，與其準(zhǔn)線相交于點(diǎn)D，且|FM|：|MD|=1：2，則點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為（　�。�

• A． -$\frac{1}{3}$
• B． -$\frac{\sqrt{3}}{3}$
• C． -$\frac{2}{3}$
• D． -$\frac{2\sqrt{3}}{3}$

Answer 1

分析 作出M在準(zhǔn)線上的射影，根據(jù)|KM|：|MD|確定|KD|：|KM|的值，進(jìn)而列方程求得m，再求出M的坐標(biāo)

解答 解：依題意F點(diǎn)的坐標(biāo)為（$\frac{m}{4}$，0），
設(shè)M在準(zhǔn)線上的射影為K，
由拋物線的定義知|MF|=|MK|，
∵|FM|：|MD|=1：2：
則|KD|：|KM|=$\sqrt{3}$：1，
k_FD=$\sqrt{3}$，
k_FD=$\frac{0+\sqrt{3}}{\frac{m}{4}-0}$=$\frac{4\sqrt{3}}{m}$
∴$\frac{4\sqrt{3}}{m}$=$\sqrt{3}$，求得m=4
∴直線FM的方程為y=$\sqrt{3}$（x-1），
與y²=4x，聯(lián)立方程組，解得x=3（舍去）或x=$\frac{1}{3}$，
∴y²=$\frac{4}{3}$，
解y=-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$或y=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$（舍去），
故M的坐標(biāo)為（$\frac{1}{3}$，-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$），
故選：D

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．拋物線中涉及焦半徑的問(wèn)題常利用拋物線的定義轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離來(lái)解決．