Question

20．已知拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，過拋物線上點(diǎn)P（2，y₀）的切線為l，過點(diǎn)P作平行于x軸的直線m，過F作平行于l的直線交m于M，若|PM|=5，則p的值為6．

Answer 1

分析 根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求稱呼切線方程，再根據(jù)|PM|=5，得到M的坐標(biāo)，然后代入到直線m中即可求出．

解答 解：設(shè)P（2，2$\sqrt{p}$），由y=$\sqrt{2px}$，可得y′=$\sqrt{2p}$•$\frac{1}{2\sqrt{x}}$，
當(dāng)x=2時(shí)，y′=$\frac{\sqrt{p}}{2}$，
∴過F作平行于l的直線方程為y=$\frac{\sqrt{p}}{2}$（x-$\frac{p}{2}$），
∵過點(diǎn)P作平行于x軸的直線m，過F作平行于l的直線交m于M，|PM|=5，
∴M（7，2$\sqrt{p}$），
∴7-$\frac{p}{2}$=4，解得p=6，
故答案為：6．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及簡單性質(zhì)的應(yīng)用，用點(diǎn)斜式求直線方程以及求兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)的方法，屬于中檔題．