Question

11．已知圓C：（x-1）²+y²=9，點(diǎn)B（-4，0），若存在不同于點(diǎn)B的定點(diǎn)A，對(duì)于圓C任意一點(diǎn)P到定點(diǎn)A和點(diǎn)B的距離比為一個(gè)常數(shù)，則此常數(shù)值為$\frac{3}{5}$．

Answer 1

分析 利用圓的定義，設(shè)出A，通過$\frac{PA}{PB}=λ$為一常數(shù)這一條件，以及P在圓上，列出關(guān)系，利用恒成立，可以求得結(jié)果．

解答 解：由圓的定義可知，存在這樣的點(diǎn)A（t，0），存在不同于點(diǎn)B的定點(diǎn)A，對(duì)于圓C任意一點(diǎn)P到定點(diǎn)A和點(diǎn)B的距離比為一個(gè)常數(shù)，即使得$\frac{PA}{PB}$為常數(shù)λ，則PA²=λ²PB²，
∴（x-t）²+y²=λ²[（x+4）²+y²]，即：（λ²-1）x²+（λ²-1）y²+（8λ²+2t）x+16λ²-t²=0，
圓C：（x-1）²+y²=9，可得：x²+y²-2x-8=0，
可得$\left\{\begin{array}{l}{{λ}^{2}-1=h}\\{8{λ}^{2}+2t=-2h}\\{16{λ}^{2}-{t}^{2}=-8h}\end{array}\right.$，
解得：t=-4（舍去）或t=-$\frac{4}{5}$．
λ=$\frac{3}{5}$．
則此常數(shù)值為：$\frac{3}{5}$．
故答案為：$\frac{3}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線和圓的方程的應(yīng)用，圓的切線方程，又是存在性和探究性問題，恒成立問題，考查計(jì)算能力．是難題．