Question

14．已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+2，x∈[0，1）\\ 2-{x^2}，x∈[-1，0）\end{array}$，且f（x+2）=f（x），g（x）=$\frac{2x+5}{x+2}$，則方程f（x）=g（x）在區(qū)間[-6，2]上的所有實(shí)根之和為（　�。�

• A． -5
• B． -7
• C． -9
• D． -11

Answer 1

分析 將方程根的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題，由圖象讀出即可．

解答 解：∵f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+2，x∈[0，1）\\ 2-{x^2}，x∈[-1，0）\end{array}$，且f（x+2）=f（x），
∴f（x-2）-2=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}，x-2∈[0，1）}\\{{-x}^{2}，x-2∈[-1，0）}\end{array}\right.$，
又g（x）=$\frac{2x+5}{x+2}$，則g（x）=2+$\frac{1}{x+2}$，
∴g（x-2）-2=$\frac{1}{x}$，
當(dāng)x≠2k-1，k∈Z時(shí)，
上述兩個(gè)函數(shù)都是關(guān)于（-2，2）對(duì)稱，
；
由圖象可得：方程f（x）=g（x）在區(qū)間[-6，2]上的實(shí)根有3個(gè)，
x₁滿足-5＜x₁＜-4，x₂=-3，x₄滿足0＜x₃＜1，x₁+x₃=-4，
∴方程f（x）=g（x）在區(qū)間[-6，2]上的所有實(shí)根之和為-7．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系以及數(shù)形結(jié)合的思想，數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)解題中常用的思想方法，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)．