Question

【題目】已知函數(shù)

（1）若時，討論的單調(diào)性；

（2）設(shè)，若有兩個零點，求的取值范圍

Answer 1

【答案】（1）答案不唯一，具體見解析（2）

【解析】

(1)求出函數(shù)的定義域及導(dǎo)數(shù)，分類討論導(dǎo)數(shù)根的個數(shù)與符號從而求得函數(shù)的單調(diào)性；(2)求出函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)，當時，至多有一個零點，不符合題意；當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，要使有兩個零點，則需大于零，從而求出的取值范圍.

（1）易知的定義域為，且，

對于，又，

①若時，，在上是增函數(shù)；

②若時，，得,

在和上是增函數(shù)，在上是減函數(shù).

（2）由，

定義域為且

①當時，恒成立，在上單調(diào)遞增，則至多有一個零點，不符合題意；

②當時，得，

在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減

要使有兩個零點，則，由解得

此時

易知當時，

令，

令，所以，

時，在為增函數(shù)，

在為增函數(shù)，，所以

函數(shù)在與各存在一個零點

綜上所述，.