分析 (1)由方程f(x)=2x+3有兩個(gè)實(shí)數(shù)根為-2,3,可得函數(shù)的解析式,再由基本不等式可得當(dāng)x>2時(shí),求函數(shù)f(x)的最小值
(2)關(guān)于x的不等式f(x)<$\frac{{k(x-1)+1-{x^2}}}{2-x}$可化為:[k(x-1)+1](x-2)<0,分類討論,可得不等式情況可,不等式的解集.
解答 解:(1)$\frac{{a{x^2}}}{x+b}=2x+3⇒(a-2){x^2}-(2b+3)x-3b=0$
由韋達(dá)定理知:$\left\{\begin{array}{l}\frac{2b+3}{a-2}=1\\ \frac{3b}{a-2}=6\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}a=1\\ b=-2\end{array}\right.⇒f(x)=\frac{x^2}{x-2}$
則$f(x)=\frac{x^2}{x-2}$=$x-2+\frac{4}{x-2}+4≥2\sqrt{(x-2)×\frac{4}{x-2}}+4=8$,
當(dāng)且僅當(dāng)x=4時(shí),函數(shù)f(x)取最小值8;
(2)$f(x)<\frac{{k(x-1)+1-{x^2}}}{2-x}⇒\frac{x^2}{x-2}<\frac{{k(x-1)+1-{x^2}}}{2-x}⇒[k(x-1)+1](x-2)<0$
分類討論:
當(dāng)k=0,x-2<0⇒x<2
接下來討論[k(x-1)+1](x-2)=0零點(diǎn)的位置關(guān)系,即:$1-\frac{1}{k},2$的大小
當(dāng)-1<k<0$,1-\frac{1}{k}-2>0,[k(x-1)+1](x-2)<0⇒x<2,x>1-\frac{1}{k}$
當(dāng)k<-1,k>0$,1-\frac{1}{k}-2<0,[k(x-1)+1](x-2)<0⇒$$\left\{\begin{array}{l}1-\frac{1}{k}<x<2,k>0\\ x<1-\frac{1}{k},x>2,k<-1\end{array}\right.$
當(dāng)k=-1,$1-\frac{1}{k}-2=0$,(x-2)2>0⇒x≠2.
點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì),基本不等式,二次不等式的解法,難度中檔.
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A. | (3,8) | B. | (3,-8) | C. | (-8,-3) | D. | (-4,-6) |
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A. | B. | C. | D. |
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A. | $\frac{1}{2}$ | B. | $-\frac{1}{2}$ | C. | $\frac{1}{3}$ | D. | $-\frac{1}{3}$ |
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A. | 0 | B. | 6 | C. | -4或10 | D. | 0或6 |
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A. | 2019 屆的優(yōu)秀學(xué)生 | B. | 高一數(shù)學(xué)必修一課本上的所有難題 | ||
C. | 遵義四中高一年級(jí)的所有男生 | D. | 比較接近 1 的全體正數(shù) |
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