Question

19．函數(shù)f（x）=2x³+x，實(shí)數(shù)m滿足f（m²-2m）+f（m-6）＜0，則m的取值范圍是（-2，3）．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，對(duì)函數(shù)f（x）=2x³+x求導(dǎo)可得其導(dǎo)數(shù)f′（x）=6x²+1＞0，分析可得函數(shù)f（x）為增函數(shù)，進(jìn)而由f（-x）=-2x³-x=-f（x）分析可得，f（x）為奇函數(shù)；結(jié)合函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，可以將f（m²-2m）+f（m-6）＜0，轉(zhuǎn)化為m²-2m＜6-m，解可得m的取值范圍，即可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，對(duì)于函數(shù)f（x）=2x³+x，其導(dǎo)數(shù)f′（x）=6x²+1＞0，則函數(shù)f（x）為增函數(shù)，
又由f（-x）=-2x³-x=-f（x），則函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，
若f（m²-2m）+f（m-6）＜0，
則有f（m²-2m）＜-f（m-6），
即f（m²-2m）＜f（6-m），
又由函數(shù)f（x）為增函數(shù)，
則有m²-2m＜6-m，
解可得：-2＜m＜3，
即m的取值范圍是（-2，3）；
故答案是：（-2，3）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用，關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化思路，分析函數(shù)f（x）的奇偶性與單調(diào)性．