Question

3．求適合下列條件的圓錐曲線方程：
（1）長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的3倍，經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3，0）的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，準(zhǔn)線與其平行線x=2的距離為3，求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程．

Answer 1

分析 （1）由題意，a=3，b=1，即可求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）由題意，設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y²=2px，準(zhǔn)線方程是x=-$\frac{p}{2}$，拋物線的準(zhǔn)線方程為x=-$\frac{5}{2}$或$\frac{1}{2}$，求出p，即可求出拋物線的方程．

解答 解：（1）由題意，a=3，b=1，
∴橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{x^2}{9}+{y^2}=1$；
（2）由題意，設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y²=2px，準(zhǔn)線方程是x=-$\frac{p}{2}$，
∵拋物線的準(zhǔn)線方程為x=-$\frac{5}{2}$或$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{p}{2}$=-$\frac{5}{2}$或$\frac{1}{2}$，解得p=5或-1，
故所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y²=10x或y²=-2x．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓、拋物線的方程與性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．