【題目】已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn , 且Sn=2an﹣n.
(Ⅰ)證明數(shù)列{an+1}是等比數(shù)列,求數(shù)列{an}的通項公式;
(Ⅱ)記bn= + ,求數(shù)列{bn}的前n項和Tn .
【答案】解:(Ⅰ)證明:令n=1,得a1=2a1﹣1,由此得a1=1. 由于Sn=2an﹣n,則Sn+1=2an+1﹣(n+1),
兩式相減得Sn+1﹣Sn=2an+1﹣(n+1)﹣2an+n,
即an+1=2an+1.
∴an+1+1=2an+1+1=2(an+1),即 =2,
故數(shù)列{an+1}是等比數(shù)列,其首項為a1+1=2,
故數(shù)列{an+1}的通項公式是an+1=22n﹣1=2n ,
故數(shù)列{an}的通項公式是an=2n﹣1.
(Ⅱ)由(Ⅰ)得,bn= + = = ,
= = ﹣ ,
所以Tn=b1+b2+…+bn=( ﹣ )+( ﹣ )+…+( ﹣ ,),
= ﹣ + ﹣ +…+ ﹣ ,
=1﹣ ,
數(shù)列{bn}的前n項和Tn=1﹣ .
【解析】(Ⅰ)利用數(shù)列遞推式,結(jié)合等比數(shù)列的定義,即可到結(jié)論;(Ⅱ)由(Ⅰ)bn= + = = ﹣ ,利用“裂項法”即可求得數(shù)列{bn}的前n項和Tn .
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解數(shù)列的前n項和的相關(guān)知識,掌握數(shù)列{an}的前n項和sn與通項an的關(guān)系,以及對數(shù)列的通項公式的理解,了解如果數(shù)列an的第n項與n之間的關(guān)系可以用一個公式表示,那么這個公式就叫這個數(shù)列的通項公式.
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【題目】函數(shù)f(x)= ,若曲線f(x)在點(e,f(e))處的切線與直線e2x﹣y+e=0垂直(其中e為自然對數(shù)的底數(shù)).
(1)若f(x)在(m,m+1)上存在極值,求實數(shù)m的取值范圍;
(2)求證:當x>1時, > .
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【題目】已知命題關(guān)于的不等式的解集是,命題函數(shù)的定義域為.
(1)如果為真命題,求實數(shù)的取值范圍;
(2)如果為真命題, 為假命題, 求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】已知橢圓 的離心率為 ,四個頂點構(gòu)成的菱形的面積是4,圓M:(x+1)2+y2=r2(0<r<1).過橢圓C的上頂點A作圓M的兩條切線分別與橢圓C相交于B,D兩點(不同于點A),直線AB,AD的斜率分別為k1 , k2 .
(1)求橢圓C的方程;
(2)當r變化時,①求k1k2的值;②試問直線BD是否過某個定點?若是,求出該定點;若不是,請說明理由.
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【題目】已知函數(shù)f(x)= ,點A、B是函數(shù)f(x)圖象上不同兩點,則∠AOB(O為坐標原點)的取值范圍是( )
A.(0, )
B.(0, ]
C.(0, )
D.(0, ]
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【題目】如圖,的邊邊所在直線的方程為 滿足,點在邊所在直線上且滿足.
(I)求邊所在直線的方程;
(II)求的外接圓的方程;
(III)若點的坐標為,其中為正整數(shù)。試討論在的外接圓上是否存在點使得成立?說明理由.
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【題目】在直角坐標系xOy中,直線C1:x=﹣2,圓C2:(x﹣1)2+(y﹣2)2=1,以坐標原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系.
(Ⅰ)求C1 , C2的極坐標方程;
(Ⅱ)若直線C3的極坐標方程為θ= (ρ∈R),設(shè)C2與C3的交點為M,N,求△C2MN的面積.
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【題目】據(jù)環(huán)保部門測定,某處的污染指數(shù)與附近污染源的強度成正比,與到污染源距離的平方成反比,比例常數(shù)為.現(xiàn)已知相距的兩家化工廠(污染源)的污染強度分別為,它們連線上任意一點處(異于兩點)的污染指數(shù)等于兩化工廠對該處的污染指數(shù)之和.設(shè).
(1)試將表示為的函數(shù);
(2)若,且時,取得最小值,試求的值.
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【題目】如圖,∠BAC= ,P為∠BAC內(nèi)部一點,過點P的直線與∠BAC的兩邊交于點B,C,且PA⊥AC,AP= .
(Ⅰ)若AB=3,求PC;
(Ⅱ)求 的取值范圍.
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