【題目】在邊長(zhǎng)為的等邊三角形中,點(diǎn)分別是邊上的點(diǎn),滿足,將沿直線折到的位置. 在翻折過程中,下列結(jié)論成立的是(

A.在邊上存在點(diǎn),使得在翻折過程中,滿足平面

B.存在,使得在翻折過程中的某個(gè)位置,滿足平面平面

C.,當(dāng)二面角為直二面角時(shí),

D.在翻折過程中,四棱錐體積的最大值記為的最大值為

【答案】D

【解析】

利用反證法可證明A、B錯(cuò)誤,當(dāng)且二面角為直二面角時(shí),計(jì)算可得,從而C錯(cuò)誤,利用體積的計(jì)算公式及放縮法可得,從而可求的最大值為,因此D正確.

對(duì)于A,假設(shè)存在,使得平面,

如圖1所示,

因?yàn)?/span>平面,平面平面,故,

但在平面內(nèi),是相交的,

故假設(shè)錯(cuò)誤,即不存在,使得平面,故A錯(cuò)誤.

對(duì)于B,如圖2

的中點(diǎn)分別為,連接

因?yàn)?/span>為等邊三角形,故,

因?yàn)?/span>,故

所以均為等邊三角形,故,

因?yàn)?/span>,,,故共線,

所以,因?yàn)?/span>,故平面

平面,故平面平面

若某個(gè)位置,滿足平面平面,則在平面的射影在上,也在上,故在平面的射影為,所以,

此時(shí),這與矛盾,故B錯(cuò)誤.

對(duì)于C,如圖3(仍取的中點(diǎn)分別為,連接

因?yàn)?/span>,所以為二面角的平面角,

因?yàn)槎娼?/span>為直二面角,故,所以

,故平面,因平面,故.

因?yàn)?/span>,所以.

中,

中,,故C錯(cuò).

對(duì)于D,如圖4(仍取的中點(diǎn)分別為,連接),

在底面上的射影,則上.

因?yàn)?/span>,所以,所以.

,

,則,

當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.

所以為增函數(shù),在為減函數(shù),故.

故D正確.

故選:D.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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1)若將消費(fèi)金額不低于80元的游客稱為“水果達(dá)人”,現(xiàn)用分層抽樣的方法從樣本的“水果達(dá)人”中抽取5人,求這5人中消費(fèi)金額不低于100元的人數(shù);

2)從(1)中的5人中抽取2人作為幸運(yùn)客戶免費(fèi)參加配套旅游項(xiàng)目,請(qǐng)列出所有的可能結(jié)果,并求這2人中至少有1人購(gòu)買金額不低于100元的概率;

3)為吸引顧客,該地特推出兩種促銷方案,

方案一:每滿80元可立減8元;

方案二:金額超過50元但又不超過80元的部分打9折,金額超過80元但又不超過100元的部分打8折,金額超過100元的部分打7折.

若水果的價(jià)格為11元/千克,某游客要購(gòu)買10千克,應(yīng)該選擇哪種方案.

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【題目】某市場(chǎng)研究人員為了了解產(chǎn)業(yè)園引進(jìn)的甲公司前期的經(jīng)營(yíng)狀況,采集相應(yīng)數(shù)據(jù),對(duì)該公司2017年連續(xù)六個(gè)月的利潤(rùn)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì),并繪制了相應(yīng)的折線圖,如圖所示:

1)折線圖可以看出,可用線性回歸模型擬合月利潤(rùn)(單位:百萬元)與月份代碼之間的關(guān)系,求關(guān)于的線性回歸方程,并預(yù)測(cè)該公司20181月份的利潤(rùn);

2)甲公司新研制了一款產(chǎn)品,需要采購(gòu)一批新型材料,現(xiàn)有采購(gòu)成本分別為10萬元包和12萬元包的、兩種型號(hào)的新型材料可供選擇,按規(guī)定每種新型材料最多可使用4個(gè)月,不同類型的新型材料損壞的時(shí)間各不相同,已知生產(chǎn)新型材料的企業(yè)乙對(duì)、兩種型號(hào)各100件新型材料進(jìn)行過科學(xué)模擬測(cè)試,得到兩種新型材料使用壽命頻數(shù)統(tǒng)計(jì)如表:

使用壽命

材料類型

1個(gè)月

2個(gè)月

3個(gè)月

4個(gè)月

總計(jì)

20

35

35

10

100

10

30

40

20

100

經(jīng)甲公司測(cè)算,平均每包新型材料每月可以帶來5萬元收入,不考慮除采購(gòu)成本之外的其他成本,假設(shè)每包新型材料的使用壽命都是整數(shù)月,且以頻率作為每包新型材料使用壽命的概率,如果你是甲公司的負(fù)責(zé)人,以每包新型材料產(chǎn)生利潤(rùn)的期望值為決策依據(jù),你會(huì)選擇采購(gòu)哪款新型材料?

參考數(shù)據(jù):,

參考公式:回歸直線方程為,其中

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【題目】在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸,取相同長(zhǎng)度單位建立極坐標(biāo)系,直線的極坐標(biāo)方程為.

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;

④若,.

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