Question

7．已知函數(shù)f（x）=x²-2ax+4（a-1）ln（x+1），其中實數(shù)a＜3．
（Ⅰ）判斷x=1是否為函數(shù)f（x）的極值點，并說明理由；
（Ⅱ）若f（x）≤0在區(qū)間[0，1]上恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求出1是函數(shù)g（x）的異號零點，判斷即可；
（Ⅱ）求出函數(shù)f（x）的導數(shù)，通過討論a的范圍結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性確定a的范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）由f（x）=x²-2ax+4（a-1）ln（x+1）可得函數(shù)f（x）定義域為（-1，+∞），
$f'（x）=2x-2a+\frac{4（a-1）}{x+1}$=$\frac{{2[{{x^2}+（1-a）x+（a-2）}]}}{x+1}$，
令g（x）=x²+（1-a）x+（a-2），經(jīng)驗證g（1）=0，
因為a＜3，所以g（x）=0的判別式△=（1-a）²-4（a-2）=a²-6a+9=（a-3）²＞0，
由二次函數(shù)性質(zhì)可得，1是函數(shù)g（x）的異號零點，
所以1是f'（x）的異號零點，所以x=1是函數(shù)f（x）的極值點．
（Ⅱ）已知f（0）=0，因為$f'（x）=\frac{{2（x-1）[{x-（a-2）}]}}{x+1}$，
又因為a＜3，所以a-2＜1，
所以當a≤2時，在區(qū)間[0，1]上f'（x）＜0，
所以函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，所以有f（x）≤0恒成立；
當2＜a＜3時，在區(qū)間[0，a-2]上f'（x）＞0，所以函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，
所以f（a-2）＞f（0）=0，所以不等式不能恒成立；
所以a≤2時，有f（x）≤0在區(qū)間[0，1]恒成立．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導數(shù)的應用以及分類討論思想，是一道中檔題．