Question

5．定義在R上的函數(shù)f（x）對(duì)任意x₁，x₂（x₁≠x₂）都有$\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}＞0$，函數(shù)f（x-1）的圖象關(guān)于（1，0）成中心對(duì)稱，如果實(shí)數(shù)m，n滿足不等式f（m²-6m+21）+f（n²-8n）＜0，那么m²+n²的取值范圍是（　�。�

• A． （9，49）
• B． （13，49）
• C． （9，25）
• D． （3，7）

Answer 1

分析 由題意可知函數(shù)單調(diào)遞增，將不等式轉(zhuǎn)化成f（m²-6m+21）＜f（n²-8n）=f（-n²+8n），由函數(shù)的單調(diào)性整理得：（m-3）²+（n-4）²＜4，則表示m²+n²表示的是陰影部分的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離．

解答 解：函數(shù)f（x-1）的圖象關(guān)于點(diǎn)（1，0）中心對(duì)稱，則函數(shù)y=f（x）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即f（x）為奇函數(shù)；，
由f（m²-6m+21）+f（n²-8n）＜0得f（m²-6m+21）＜f（n²-8n）=f（-n²+8n），
又由在R上f（x）對(duì)任意x₁，x₂（x₁≠x₂）都有$\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}＞0$，
∴函數(shù)y=f（x）是定義在R上的增函數(shù)，
則m²-6m+21＜-n²+8n，
∴（m-3）²+（n-4）²＜4，表示以以（3，4）為圓心，以2為半徑的圓的內(nèi)部，
∴實(shí)數(shù)m，n滿足不等式f（m²-6m+21）+f（n²-8n）＜0，即滿足（m-3）²+（n-4）²＜4，
作出圖象，m²+n²表示圓內(nèi)部的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的平方，
則圓心到原點(diǎn)的距離d=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∴（m-3）²+（n-4）²=4內(nèi)部的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離范圍（5-2，5+2），即（3，7），
∴m²+n²的取值范圍（9，49），
故選A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，對(duì)稱性及函數(shù)的奇偶性，考查點(diǎn)到直線的距離公式，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．