Question

16．如圖，在四棱錐P-ABCD中，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=$\frac{1}{2}$AD=1，E為棱AD的中點，異面直線PA與CD所成的角為90°．
（Ⅰ）證明：CD⊥平面PAD；
（Ⅱ）若二面角P-CD-A的大小為45°，求幾何體C-PBE的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知異面直線PA與CD所成的角為90°，知PA⊥CD，又∠ADC=90°，直接利用線面垂直的判定可得CD⊥平面PAD；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知∠PDA為二面角P-CD-A的平面角為45°，再由線面垂直的判定證明PA⊥平面ABCD，得PA⊥AD．證明四邊形BCDE為正方形，然后利用等積法求得幾何體C-PBE的體積．

解答 （Ⅰ）證明：由已知異面直線PA與CD所成的角為90°，知PA⊥CD，
又∠ADC=90°，PA∩AD=A，
∴CD⊥平面PAD；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，CD⊥平面PAD，
∴PD⊥DC，又AD⊥DC，
∴∠PDA為二面角P-CD-A的平面角為45°，
∵$\frac{1}{2}$AD=1，∴AD=2，
由PA⊥CD，∠PAB=90°，且直線AB與CD相交，
可得PA⊥平面ABCD，得PA⊥AD．
在Rt△PAD中，可得PA=2，
又AD∥BC，AD⊥DC，BC=CD，
∴四邊形BCDE為正方形，可得${S}_{△BCE}=\frac{1}{2}$．
∴${V}_{C-PBE}={V}_{P-BCE}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2=\frac{1}{3}$．

點評 本題考查直線與平面垂直的判定，考查空間想象能力和思維能力，訓練了利用等積法求多面體的體積，是中檔題．